... ללא מוצא או לחילופין לאין פתרון. לא כן, כאשר האדם מכיר את הכוחות שלו ויודע לשחק אתם נכון, לכן, גם הכרת הכוחות של האדם הם סוג של משחק או פסיכולוגיה או אם תרצו גם מתמטיקה. ומה בעצם הדבר אומר בפשטות? ...

... אצל כל אחד מתלמידיה. פה ייחרצו במידה רבה גורלותיו של הרומן הארוך והמסובך בין העולם הקסום והנחשק של הידע האנושי ובין הילד בן השש. כאן יותוו הקווים הראשונים של פסיעותיו במרחבים הלא נודעים לו של היסטוריה וגיאוגרפיה, מתמטיקה וספרות, טבע ואמנות וכל יתר האוצרות והמטמונים של הדעת ...

... מישהו משהו, רצוי לעשות זאת באמצעות לימוד הכלל של המקרה הכללי ולא רק ללמוד ולהבין את המקרה הפרטי. לדוגמה: בלימוד מתמטיקה חשוב יותר ללמוד את הכללים שמתאימים לכל סיטואציה, מאשר ללמוד את התשובות לסיטואציות ספציפיות. בכלל ...

... תשכח ותחזור ותלמד ותשנן עד שתזכור. אפשר פשוט להתקדם קדימה לדבר הבא. כמובן שכל הנל מתייחס לנושאי לימוד שאינם מסודרים בסדר של משהו שמבוסס על המשהו הקודם, כגון מתמטיקה בסיסית וכולי, שאם לא תלמד את הפרק הראשון, לא תבין את הפרק השני. אבל בנושאים של ...

... הלמידה הבסיסית היא סיוע למישהו שבאמת יודע מה הוא עושה. (כריסטופר אלכסנדר) ללמוד מתמטיקה מספר לימוד או לומדה זה כמו ללמוד שפה מקריאת ספרי תחביר ושינון ...

... כבדי - ראש ראינו ששיטת ההוכחה שהנהיג אוקלידס במתמטיקה היא תובענית הרבה יותר מההוכחה המדעית באמצעות ניסוי: שום מתמטיקאי לא יעיז להוכיח טענה כלשהי על סמך בדיקת מיליון דוגמאות, כי כבר קרה שרק המקרה המיליארד ומשהו הכזיב! ... אותנו מהאמת. לצד העיסוק ביופיין של הפיסיקה והמתמטיקה, בואו ניתן דעתנו על שני מומים המתגלים בשתי הגברות האלה אחרי בדיקה יותר פולשנית. שתיהן מתחרות על כתר מלכת המדעים. הפיסיקה תובעת אותו בנימוק שהיא עוסקת במרכיבים ... בתופעות מורכבות יותר, הם ענפי - משנה שלה. המתמטיקה, מצד שני, טוענת שאינה מוגבלת רק למציאות הידועה לנו. כל מציאות שנוכל להעלות בדמיוננו, כל עוד שולטים בה חוקים קבועים, ויהיו אלה הביזאריים ביותר, תוכל המתמטיקה לתאר אותם, ולכן היא יסודית יותר מהפיסיקה. בואו נראה מה נוכל ללמוד מוויכוח זה. הפיסיקה היא מדע ניסיוני, כלומר היא לומדת על המציאות עי הניסוי והתצפית. שיטות אלה ... משתמש באינדוקציה, הסקה ממקרה פרטי על הכלל. המתמטיקה, לעומת זאת, משתמשת בדדוקציה, כלומר הנחת עיקרון ראשוני שממנו נגזרות מסקנות ספציפיות יותר. כמובן, העיקרון הראשוני הזה אינו נובע מהניסיון, כי זה תחומו של המדע. לכן, כל ... - דבר והיפוכו. אמרו אנשים: בואו נבנה את כל המתמטיקה כמו שאוקלידס בנה את הגיאומטריה, כלומר נבדוק מה המינימום של הנחות - יסוד שמהן נגזור את כל טענות המתמטיקה (כולל הגיאומטריה, שחזרה עכשיו להיות ענף של המתמטיקה). טובי המוחות של המאות ה - 19 וה - 20 נרתמו למרוץ הזה, וגילו הרבה דברים יפים בדרך. ואז הופיע בחור בן עשרים וחמש בשם קורט גדל (1906 - 1978) והוכיח שכל מערכת עקבית של ... האמת חורגת מגבולות ההינתנות - להוכחה. 11 המתמטיקה, עם ההיגיון הצרוף והמושלם שלה, תצטרך לחיות עם העובדה שייתכנו בתוך עולמה דברים אמיתיים שלא יהיה בכוחה להוכיחם. באופן דומה התמודדו מדעי הטבע עם הערעור על האינדוקציה. ...

... - מבוא אינסוף הוא מושג שזוכה במתמטיקה, בפילוסופיה, בתאולוגיה ובשפת היומיום למשמעויות רבות ושונות. המשותף לרוב המשמעויות הללו הוא תפיסת האינסוף כדבר מה שתכולתו גדולה מכל דבר אחר, תהליך שלא יגיע לסופו לעולם. סימונו ברוב ענפי המתמטיקה הוא infty. האינסוף במתמטיקה במתמטיקה, ישנם שני סוגים עיקריים של אינסוף - זה הבא לתאר גודל של קבוצה שאינה סופית - גודל שכזה מכונה עוצמה. השני בא לתאר תהליכים ... גודל סופי נתון לחלקים רבים והולכים לבלי גבול. פתרון לפרדוקסים אלה נמצא רק בביסוס התאורטי של מושג האינסוף במתמטיקה, החל מהמאה ה - 17. תיאור של האינסוף מופיע בכתביו של אריסטו: תמיד אפשר לחשוב על מספר גדול יותר, משום שמספר הפעמים שבהן ניתן לחלק גודל נתון לשניים ... גדלות ואין חקר) נפלאות עד אין מספר, כלומר: עד אינסוף (בעוד שהמילה עד מעידה בעברית על הגעה אל גבול, ואכן גם במתמטיקה משמש האינסוף (אנ) כגבולם של כל המספרים הסופיים). בקבלה, מכונה התגלות האל כאור אין סוף, כלומר אור שאיננו מוגבל ובעל פרטים מוגדרים, כי אם מציאות ...

... - הפרה סוקרטיים ויסודות המציאות - חלק 1 אם פיתגורס יישם את המתמטיקה גם לנושאים שימושיים, שני הפילוסופים בדור שאחריו חקרו בכליהם הדלים את החידה הקשה והחמקמקה ביותר של הפיסיקה, את הזמן. הרקליטוס מאפזוס (535 - 475 לפהס) ... ל - (ג) וחשפו טעות לא - טריוויאלית בחשיבה שלו, ואגב - כך ייסדו ענפים חדשים במתמטיקה. הפיסיקאים, מצידם, חשפו בעיות במושגי המרחב והזמן - דרך בה נלך גם בספר זה. הנה דוגמה לכך שאין אפס בפרדוקס מוצלח: הוא תמיד מוביל לתגלית! 9 כמו פילוסופים רבים ... יצירי דמיוננו והשיפוט של יצירותיהן הוא עניין סובייקטיבי של טעם. אבל מה מקום המתמטיקה בחלוקה זו? מספרים אינם קיימים במציאות. האם מישהו ראה אי - פעם שלוש? ראינו שלוש קלמנטינות, שלוש תולעי - משי או שלושה חברי - כנסת, אבל סתם שלוש, את השלוש ... שלא יהפכו חיש - מהר לצוללות? הנה הפרדוקס שילווה אותנו לאורך הספר הזה. המתמטיקה היא יציר רוחנו, עוסקת בדברים מופשטים שאינם נראים במציאות. היא גם גורמת הנאה אסתטית לאנשים מסוימים (שהם, במקרה, אלה שמצליחים בה ולא מקללים אותה אחרי הבחינה). אם כך, צריכה הייתה המתמטיקה להימנות על המקצועות ההומאניים והאמנויות. במציאות, כמובן, המתמטיקה היא מלכת התחומים הריאליים: העיסוק במספרים טהורים שאיש אינו יכול לראותם נותן לאנשים כוח אדיר לשלוט במציאות החיצונית! תשובת אפלטון לחידה היא חזרה לדרך ...

... קדם - סוקרטים. ידיעה הדיון העכשווי באפיסטמולוגיה עוסק בידיעה טענתית (ידיעה ש). ידיעה זו נבדלת מידיעה איך ומהיכרות ישירה. לדוגמה, במתמטיקה ידוע ש: 44 = 22 + 22, אבל גם ישנה ידיעה כיצד לחבר מספרים ולבצע פעולות חשבון. בנוסף, ישנה ידיעה של היכרות ישירה עם אנשים, צבעים וצלילים. ברטרנד ראסל הבחין לראשונה ... אמיתותם. דוגמה לכך היא הטענה 43 אחוז מרווקי ישראל גרים בחיפה. טענה זו תדרש לאימות אימפירי אם נרצה לברר את נכונותה. קאנט גרס שטענות המתמטיקה והמדע הן טענות סינתטיות אפריורית. לדוגמה, הטענה 12 = 7 + 5 היא אמיתית בהכרח (ומכאן אפריורית) אך מנגד, ניתוח המושג 12 אינו מספיק כדי לדעת שהוא שווה ל - 7 ועוד 5. מנגד, רבים ממבקרי קאנט טענו כי משפטי המתמטיקה הם אנליטיים אפריוריים (גוטלוב פרגה לדוגמה). וילארד ואן אורמאן קוויין ערער על עצם ההבחנה בין הסינתטי לאנליטי במאמרו שתי דוגמות לאמפריציזם. אמפריציזם ורציונליזם על ... חושית. אמפריציסטיים מסוימים קבעו כי כל הידע האפשרי הוא ידע שמבוסס על ניסיון (גון סטיוארט מיל לדוגמה), ומנגד, אחרים ראו בלוגיקה ובמתמטיקה יוצאים מן הכלל בהקשר זה. פוזיטיביזם וסוגים של ריאליזם הינם פיתוח של העמדה האמפריציסטית. הרציונליזם מבטל את חשיבות נתוני החושים בתהליך רכישת ידע. על פי הרציונליזם ...

... כמכשיר מדידה לאובייקטיביות - לשים את האובייקטיביות במקומה המתאים. משמעת היא דבר חשוב, היא משמשת בתור חוקים במדינות שונות, היא מתווה את הדרך במתמטיקה , שפות וכו. ואצל האדם: הכללים מקנים לאדם משמעת עצמית אמיתית, כמו בחוקי המתמטיקה שיש לפיהם כללים ואם לא נלך על פיהם, יש תוצאות שגויות, וכל שכן, מי שלא ילך לפי כללי התנועה בכביש, עלול לגרום לאסון או חלילה ... תיפול בשלב כלשהו. כי נאה דורש, נאה מקיים ואין פה את הכלל הזה, ולכן, התיאוריה לא יכולה לעבור את מבחן הנסיעה אם אין אפשרות לבדוק אותה. הדבר דומה לציר המספרים במתמטיקה, זה כמו נקודה שאם לא תקבע אותה על הצירים היא תהיה נקודה מטיילת ללא מיקום וללא שם. נקודה ללא משמעות, שאין לה כיוון ולא מטרה. ...