... הידע האנושי ובין הילד בן השש. כאן יותוו הקווים הראשונים של פסיעותיו במרחבים הלא נודעים לו של היסטוריה וגיאוגרפיה, מתמטיקה וספרות, טבע ואמנות וכל יתר האוצרות והמטמונים של הדעת האנושית מראשיתה ועד ימינו. יחלפו שנים עד שאותו ילד, שיהיה ...

... משהו, רצוי לעשות זאת באמצעות לימוד הכלל של המקרה הכללי ולא רק ללמוד ולהבין את המקרה הפרטי. לדוגמה: בלימוד מתמטיקה חשוב יותר ללמוד את הכללים שמתאימים לכל סיטואציה, מאשר ללמוד את התשובות לסיטואציות ספציפיות. בכלל בחיים חשוב למצוא את ...

... קדימה לדבר הבא. כמובן שכל הנל מתייחס לנושאי לימוד שאינם מסודרים בסדר של משהו שמבוסס על המשהו הקודם, כגון מתמטיקה בסיסית וכולי, שאם לא תלמד את הפרק הראשון, לא תבין את הפרק השני. אבל בנושאים של מודעות אישית, זה ...

... נוסף של מה התוצאות של כפולות שהתוצאה שלהן היא מעל מאה. אך בהמשך הדרך, הילדים לומדים ומבינים את חוקי המתמטיקה שעל בסיסם בנוי לוח הכפל ואז הם יכולים להכפיל כל מספר בכל מספר עד אין סוף בלי להסתבך בכלל. ... למדו את התשובה שלה בצורה מפורשת, כי המידע הזה הרי לא קיים אצלם. אבל ברגע שילד לומד את חוקי המתמטיקה ואתה הבסיס העמוק שלה יותר ויותר, כך הוא יכול טוב יותר להתמודד עם דברים רבים יותר גם כאלו שהוא ... מעצמם, דהיינו שהבנה עמוקה עדיפה על ידע (כי היא חסכה זמן רב של רכישת כל המידע). לכן כשמלמדים ילד מתמטיקה מבקשים ממנו להבין את הדרך ולא רק את התוצאה, כי על ידי שיבין את הדרך הוא יוכל לפתור עוד ... להבנה טובה יותר של כל שאר האירועים באותו נושא, להבין למה הם כך או אחרת. הילד שמתרגל עוד תרגיל במתמטיקה, זה כדי לגרום לו להבין את המנגנון של המתמטיקה טוב יותר ולא בשביל שהוא ידע כמה זה X כפול Y, אלא כדי שהמוח שלו אולי יבין טוב יותר ...

... שלהם לעשות כך. (דאגלס אדאמס) צורת הלמידה הבסיסית היא סיוע למישהו שבאמת יודע מה הוא עושה. (כריסטופר אלכסנדר) ללמוד מתמטיקה מספר לימוד או לומדה זה כמו ללמוד שפה מקריאת ספרי תחביר ושינון אוצר מלים! (גויס קורטק פטרול) טוב יותר ...

... 2 פילוסופיה - אי שלמות שואפת לאינסוף - חלק 1. שעשועים כבדי - ראש ראינו ששיטת ההוכחה שהנהיג אוקלידס במתמטיקה היא תובענית הרבה יותר מההוכחה המדעית באמצעות ניסוי: שום מתמטיקאי לא יעיז להוכיח טענה כלשהי על סמך בדיקת מיליון דוגמאות, כי כבר קרה שרק המקרה המיליארד ומשהו הכזיב! 39 ... תהליכים הקיימים בטבע, מסידורי עלים על הגבעול ומבנה הקונכיות ועד צורת הגלקסיות. שעשוע דומה מציג משולש הקרוי על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל (1623 - 1662) אבל תואר כבר בידי המשורר והאסטרונום הפרסי עומר כיאם (1048 - 1122). זהו ... אנחנו, לאור המחלוקת בין אפלטון ואריסטו, צריכים להחליט שלא ניתן ליופי להסיט אותנו מהאמת. לצד העיסוק ביופיין של הפיזיקה והמתמטיקה, בואו ניתן דעתנו על שני מומים המתגלים בשתי הגברות האלה אחרי בדיקה יותר פולשנית. שתיהן מתחרות על כתר מלכת ... המציאות כמו חומר, אנרגיה, מרחב וזמן, ולכן כל שאר המדעים, העוסקים בתופעות מורכבות יותר, הם ענפי - משנה שלה. המתמטיקה, מצד שני, טוענת שאינה מוגבלת רק למציאות הידועה לנו. כל מציאות שנוכל להעלות בדמיוננו, כל עוד שולטים בה חוקים קבועים, ויהיו אלה הביזאריים ביותר, תוכל המתמטיקה לתאר אותם, ולכן היא יסודית יותר מהפיזיקה. בואו נראה מה נוכל ללמוד מוויכוח זה. הפיזיקה היא מדע ניסיוני, כלומר ... שדבר כל כך מהותי כמו הסיבתיות קיים רק בראש שלנו ואנחנו מלבישים אותו על מציאות שאיננו יודעים מה היא. המתמטיקאים אהבו לנפנף בנקודת העיוורון הזאת של המדע הניסיוני עד שאחד משלהם עשה להם תעלול וערער את הבסיס המקביל של המקצוע שלהם. המדע, כפי שראינו, משתמש באינדוקציה, הסקה ממקרה פרטי על הכלל. המתמטיקה, לעומת זאת, משתמשת בדדוקציה, כלומר הנחת עיקרון ראשוני שממנו נגזרות מסקנות ספציפיות יותר. כמובן, העיקרון הראשוני הזה אינו נובע מהניסיון, כי זה תחומו של המדע. לכן, כל מערכת של הנחות - יסוד היא חוקית בעיני המתמטיקאי כל עוד היא עקבית, כלומר, לא ניתן לגזור ממנה סתירה - דבר והיפוכו. אמרו אנשים: בואו נבנה את כל המתמטיקה כמו שאוקלידס בנה את הגיאומטריה, כלומר נבדוק מה המינימום של הנחות - יסוד שמהן נגזור את כל טענות המתמטיקה (כולל הגיאומטריה, שחזרה עכשיו להיות ענף של המתמטיקה). טובי המוחות של המאות ה - 19 וה - 20 נרתמו למרוץ הזה, וגילו הרבה דברים יפים בדרך. ואז הופיע בחור בן עשרים וחמש בשם קורט גדל (1906 - 1978) והוכיח שכל מערכת עקבית של הנחות מתמטיות חייבת לכלול טענות שלא ניתן להוכיחן בתוך אותה מערכת. גדל עצמו, שהיה אפלטוניסט, הסיק מהוכחת אי - השלמות שלו מסקנה מרחיקת - לכת מאוד: האמת חורגת מגבולות ההינתנות - להוכחה. 11 המתמטיקה, עם ההיגיון הצרוף והמושלם שלה, תצטרך לחיות עם העובדה שייתכנו בתוך עולמה דברים אמיתיים שלא יהיה בכוחה להוכיחם. באופן ...

פילוסופיה - הפרה סוקרטיים ויסודות המציאות - חלק 1 אם פיתגורס יישם את המתמטיקה גם לנושאים שימושיים, שני הפילוסופים בדור שאחריו חקרו בכליהם הדלים את החידה הקשה והחמקמקה ביותר של הפיזיקה, את הזמן. ... זנון נבחנו שוב ושוב ונמצאו קשים להתרה. זנון עצמו, נאמן למורו, בחר ב (ב). אלפיים שנה מאוחר יותר פנו מתמטיקאים ל - (ג) וחשפו טעות לא - טריוויאלית בחשיבה שלו, ואגב - כך ייסדו ענפים חדשים במתמטיקה. הפיסיקאים, מצידם, חשפו בעיות במושגי המרחב והזמן - דרך בה נלך גם בספר זה. הנה דוגמה לכך שאין אפס ... את מדינת הפילוסופים שלו היה נוצר עוד גן עדן מסוג אלה שכבר ראינו יותר מדי במאה העשרים. אבל כיוון שהמתמטיקאי והפילוסוף אלפרד נורת ווייטהד (1861 - 1947) סבר שכל הפילוסופיה המערבית היא סדרת הערות שוליים לאפלטון, לא יזיק להציץ ... השונים כמו הספרות והמוסיקה, שהם בעיקר יצירי דמיוננו והשיפוט של יצירותיהן הוא עניין סובייקטיבי של טעם. אבל מה מקום המתמטיקה בחלוקה זו? מספרים אינם קיימים במציאות. האם מישהו ראה אי - פעם שלוש? ראינו שלוש קלמנטינות, שלוש תולעי - ... גשרים שלא יתפרקו תחת רגלינו ואוניות שלא יהפכו חיש - מהר לצוללות? הנה הפרדוקס שילווה אותנו לאורך הספר הזה. המתמטיקה היא יציר רוחנו, עוסקת בדברים מופשטים שאינם נראים במציאות. היא גם גורמת הנאה אסתטית לאנשים מסוימים (שהם, במקרה, אלה שמצליחים בה ולא מקללים אותה אחרי הבחינה). אם כך, צריכה הייתה המתמטיקה להימנות על המקצועות ההומאניים והאמנויות. במציאות, כמובן, המתמטיקה היא מלכת התחומים הריאליים: העיסוק במספרים טהורים שאיש אינו יכול לראותם נותן לאנשים כוח אדיר לשלוט במציאות החיצונית! תשובת ... שלהם. טעות! העצמים המוחשיים הם בבואות חיוורות של מחשבות ורעיונות שעל פיהן בראו האלים את העולם. לכן, האמן, המיסטיקאי והמתמטיקאי מתחברים, איש - איש בדרכו, אל העולם האמיתי ההוא שביסוד העולם המוחשי שלנו. באחד הדיאלוגים הנפלאים שלו, מנון, מתאר ...

... הגורם האנושי - השמרנות וההתחפרות בעמדות מוכרות - בעוד פופר מראה איך ניתן להתעלות מעל הגורם הזה. לרוגר פנרוז, מתמטיקאי ופיסיקאי שעוד נפגוש הרבה בהמשך, יש טענה מרחיקת - לכת בעניין זה: 70 התגליות המתמטיות המפורסמות לא יכלו להתגלות בתהליך אלגוריתמי, כלומר תהליך המתנהל על - פי כללים קבועים, כמו התהליכים השולטים בפעולת המחשב. ... רעש היוצר צירופים חדשים. 1. 2 עיקרון השפע אחרי שיצורים כמו המספרים המדומים התגלו כתואמים את המציאות, החלו הדמיון המתמטי להתפרע עוד יותר. היה זה פיסיקאי, ניוטון, שהמציא מושג מוזר, הנגזרת, שהיא גודל גדול מאפס אבל קטן מכל מספר ... 8. 8), התעלמו הפיסיקאים משאלת החוקיות הלוגית שלה וניגשו לעבודה עם הכלי החדש. רק במאה ה - 19 הצליחו המתמטיקאים בולצנו ו - ויירשטרס לתת לנגזרת את תעודת ההכשר המיוחלת. בוקר טוב, גיחכו הפיסיקאים, מה היינו עושים בלעדיכם! הנון ... מתמצת את הגישה הזאת בסיסמה של גלילאו: באר את הפלא עי הנס. כמו האפס, גם האינסוף משך את הדמיון המתמטי. גיאורג קנטור (1845 - 1918) המציא חשבון מיוחד לאינסופים והוכיח בדרך פשוטה יחסית שמספר הנקודות על קו מסוים שווה ... אבל לא מאמין! ). במילים אחרות, כשמשווים בין סוגים שונים של אינסוף מתקבלות תוצאות המנוגדות לשכל הישר. משלא הצליחו המתמטיקאים להפריך את הוכחותיו של קנטור, ניסו לדחותן בטענה שאינסופים אינם דבר מציאותי. קנטור, שהיה אפלטוניסט, טען שהם דווקא קיימים ... מיכולת ההוכחה. 11 מייקל גוילן, 60 בעבר מרצה לפיזיקה בהרוורד, תומך בהקשר זה בטענה הקרויה עיקרון השפע: כל דבר שהמתמטיקה מרשה את קיומו, יתגלה בסופו של דבר כקיים במציאות הפיסיקלית. זו טענה קיצונית ולא כולם מסכימים אתה. אני עצמי ... הטבע יש אמירה מפורסמת של ריצרד פיינמן (1918 - 1988, נובל 1965), לא הכי תרבותית אבל קולעת: הפיזיקה היא למתמטיקה מה שהסקס הוא לאוננות. כיוון שהספר הזה עוסק בפיזיקה, שחוקיה מנוסחים בלשון מתמטית, בואו נראה במה מתייחדים חוקים אלה. גם עולמו של הפיסיקאי מאוכלס בישויות אפלטוניות שלא ניתן לראותן באופן ישיר אבל ... יותר אפלטוני הוא החוק הפיסיקלי: במקומות שונים ובזמנים שונים, תופעות הנראות שונות לחלוטין מצייתות לאותם חוקי - יסוד בדיוק מתמטי מפליא. זה מה שהפעים את איינשטיין, שאמר הדבר הכי פחות מובן בעולמנו הוא עובדת היותו מובן. וכמו המתמטיקה, גם הפיזיקה מוליכה אותנו אל חוקים יותר ויותר אינווריאנטיים, כלומר, בלתי - משתנים. סוג חשוב כזה של אינווריאנטיות הוא ...

אינסוף - מבוא אינסוף הוא מושג שזוכה במתמטיקה, בפילוסופיה, בתאולוגיה ובשפת היומיום למשמעויות רבות ושונות. המשותף לרוב המשמעויות הללו הוא תפיסת האינסוף כדבר מה שתכולתו גדולה מכל דבר אחר, תהליך שלא יגיע לסופו לעולם. סימונו ברוב ענפי המתמטיקה הוא \ infty. האינסוף במתמטיקה במתמטיקה, ישנם שני סוגים עיקריים של אינסוף - זה הבא לתאר גודל של קבוצה שאינה סופית - גודל שכזה מכונה ... לאינסוף ניתנה במאה ה - 17, בעת העיסוק במושג הגבול, בתחילת יצירתו של החשבון האינפיניטסימלי. במסגרת דיון זה הנהיג המתמטיקאי האנגלי גון ואליס בשנת 1655 את הסמל \ infty למושג האינסוף. הסמל בא לידי שימוש, למשל, בביטוי מהצורה \ ... ובאותה עת מאבדים כמה מן התכונות המקוריות של המערכת. למערכות שונות הכוללות את סמל האינסוף יש שימושים שונים בהקשרים מתמטיים שונים, ולא קיימת דרך מוסכמת, נכונה, לטפל באריתמטיקה של הסמל הזה. דרך אחת לבצע פעולות באינסוף היא לספח לישר ... מחלקים גודל סופי נתון לחלקים רבים והולכים לבלי גבול. פתרון לפרדוקסים אלה נמצא רק בביסוס התאורטי של מושג האינסוף במתמטיקה, החל מהמאה ה - 17. תיאור של האינסוף מופיע בכתביו של אריסטו: תמיד אפשר לחשוב על מספר גדול יותר, ... חקר) נפלאות עד אין מספר, כלומר: עד אינסוף (בעוד שהמילה עד מעידה בעברית על הגעה אל גבול, ואכן גם במתמטיקה משמש האינסוף (אנ) כגבולם של כל המספרים הסופיים). בקבלה, מכונה התגלות האל כאור אין סוף, כלומר אור שאיננו מוגבל ...

... את שתי התיאוריות: יש ארבעה יסודות הם בנויים מארבעה סוגי אטומים. מכאן המשיך אפלטון וניסה לתת לתורה המאוחדת בסיס מתמטי. הוא הוכיח כי בעוד בעולם הדו - ממדי אין סוף למספר המצולעים המושלמים - משולש, ריבוע, מחומש וכו - ... יפה. הדודקהדרון, אמר אפלטון, קשור לצורת היקום כולו. עכשיו הכל הסתדר. שטויות במיץ עגבניות? בואו נדייק: שטויות במיץ הוכחה מתמטית נכונה. גופים מושלמים יש באמת רק חמישה אבל ארבעת היסודות אינם יסודיים. ובכל זאת, עם התקדמות המדע, התחלפו הפרטים ... מהם את כל תכונותיו הכימיות. כך נעשתה כל הכימיה ענף של הפיזיקה. לכאורה, הכל הסתדר יפה בתשבץ, אבל כמו במתמטיקה, תמיד מופיע עוד נודניק המערער את אחד היסודות בבניין החדש. התגלה שגם חלקיקים כמו פרוטונים אינם חלקיקי - יסוד ... מהיחסים המספריים בין מרכיביו. אחד ממנבאי החלקיקים החדשים, פול דיראק (1902 - 1984, נובל 1933), ייחס חשיבות עליונה ליופי המתמטי. בהתרסה נגד הביטוי הרווח זה יותר מדי יפה מכדי להיות אמיתי כתב פעם תוצאה זו היא יפה מדי מכדי ... שלך תהיה יפה מאשר שתתאים לתוצאות הניסוי. אפלטוניזם קיצוני כזה נראה קרוב יותר לדת מאשר למדע, אבל האליטה של המתמטיקאים והפיסיקאים כוללת הרבה אפלטוניסטים מוצהרים וחבויים. עוד אחד ממייסדי תורת הקוונטים, יוגין ויגנר (1902 - 1995, נובל 1963), כתב בהתפעמות על יעילותה הבלתי - הגיונית של המתמטיקה במדעי הטבע. בעיניו, קיומם של חוקי טבע היה בעצמו דבר לא טבעי, ועוד פחות מזה שהאדם מסוגל לגלותם. נס התאמתה של שפת המתמטיקה לניסוח חוקי הפיזיקה, התפייט ויגנר בנימה דתית, הוא מתנה מופלאה שאיננו מבינים אותה וגם איננו ראויים לה. מי שהסיקה ...