... לאינסוף פירושה שאנו יכולים להגיע למספר גדול כרצוננו. זהו אינסוף שמושתת אך ורק על אלמנטים סופיים, אך מאחוריו עומד תהליך אינסופי. ישנן גם מערכות מספרים שכוללות בהן את האינסוף כמספר, או מרחבים שבהם האינסוף נכלל בתור איבר של המרחב. בכל המקרים הללו הדבר גורר שינוי של כמה מהתכונות המתקיימות במערכת, ולעתים אין האינסוף שהוסף אליהן מהווה יותר מסימון לצורכי נוחות בלבד. האינסוף כתהליך הגדל כרצוננו תכונתם של המספרים הטבעיים, שלכל אחד מהם יש מספר גדול ממנו, הייתה ידועה כבר ליוונים הקדמונים (וזכתה לשם אקסיומת ארכימדס). אם נתבונן בסדרה שאיבריה הם המספרים הטבעיים, נראה כי ככל שאנו מתקדמים בסדרה, הערכים של איברי הסדרה הולכים וגדלים בצורה כזו שעבור כל מספר טבעי, החל ... של תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות שמספר איבריהן אינו סופי (קבוצות אינסופיות). גלילאו הראה כי ניתן ליצור התאמה שממנה נובע כי מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים הריבועיים, אף שתוצאה זו סותרת לכאורה את העובדה הברורה, שיש מספרים טבעיים שאינם ריבועיים. מכאן הסיק גלילאו שמושגי הגדול, קטן ושווה המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה ... בסוף המאה ה - 19, במסגרת פיתוחה של תורת הקבוצות. מונח העוצמה נוצר במסגרת זו כדי לבטא את גודלה של קבוצה שמספר איבריה אינו סופי, כגון קבוצת המספרים הטבעיים או קבוצת המספרים הממשיים. במסגרת זו, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הריבועיים יש אותה עוצמה, אף על פי שאחת הקבוצות מכילה ממש את רעותה. ריכרד דדקינד הגדיר קבוצה אינסופית ככזו שהיא ... המוכלת בה ממש. הישג גדול של קנטור היה ההוכחה שאין מקום לדבר על גודל אינסופי יחיד, אלא יש סוגים רבים של גדלים אינסופיים. העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, למשל, גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית aleph_0 (קרי: אלף אפס), ואת עוצמת הממשיים סימן באות aleph. יתרה מזו, משפט קנטור ... שלא ניתן לטפל בהן במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קרא קנטור האינסוף המוחלט. פעולות באינסוף יש כמה דרכים שבהן ניתן לצרף את הסמל infty למערכות מספרים מוכרות. בכל אחת מדרכים אלה מקבלות פעולות מסוימות משמעות, ובאותה עת מאבדים כמה מן התכונות המקוריות של המערכת. ... לקבל גם את השוויון המופרך 1= 1+0 = 1+( infty- infty) = (1+ infty) - infty= infty- infty=0, או לוותר על האסוציאטיביות של החיבור. ראו גם שדה המספרים הסוריאליסטיים. האינסוף בגאומטריה אחת התוצאות הראשונות הנובעות מהאקסיומות של הגאומטריה היא שכל ישר מכיל אינסוף ... ואין חקר) נפלאות עד אין מספר, כלומר: עד אינסוף (בעוד שהמילה עד מעידה בעברית על הגעה אל גבול, ואכן גם במתמטיקה משמש האינסוף (אנ) כגבולם של כל המספרים הסופיים). בקבלה, מכונה התגלות האל כאור אין סוף, כלומר אור שאיננו מוגבל ובעל פרטים מוגדרים, כי אם מציאות מופשטת, ...

... מיליון דוגמאות, כי כבר קרה שרק המקרה המיליארד ומשהו הכזיב! 39 ההוכחה צריכה להיות עקרונית, בלי קשר לניסיון. הנה, לדוגמה, הטענה שכל סכום של מספרים אי - זוגיים עוקבים המתחיל מ - 1 נותן מספר ריבועי, למשל, 1 + 3=22. במקרה זה, ההוכחה העקרונית קלה להמחשה ויזואלית. את כל המספרים האי - זוגיים מה - 1 ומעלה אפשר לצייר כקבוצות ריבועים היוצרים צורות ר שצלעותיהן שוות, והן ... זה מחזיר אותנו לנושא היופי. למה חושבים אנשים שהוכחה כזאת היא יפה? כי על סמך צעדים לוגיים בודדים אנחנו יודעים משהו בוודאות על כל צירופי המספרים מהסוג הזה. לא סתם מועט המחזיק את המרובה אלא מועט המחזיק את האינסוף! הוכחות כאלה, הנכונות עד ... הולידו מגוון שעשועים, שמהם נבעו גם צורות חדשות של יופי וגם הבנות חדשות של המציאות. לאונארדו פיבונצי (1170 - 1250) תהה מה יקרה אם ניצור טור מספרים שבו כל מספר הוא סכום שני המספרים הקודמים. הוא כתב, אם כן, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, וקיבל מקור בלתי - נדלה של תכונות מסקרנות הממשיכות להתגלות עד היום. קחו למשל, כל מספר בסדרה וחברו אותו עם כל קודמיו: תקבלו סכום השווה למספר השני הבא אחריו פחות אחד. לדוגמא, סכום חמשת המספרים הראשונים, 1 + 1 + 2 + 3 + 5, שווה לסכום המספר השביעי, 13, פחות אחד. יש לסדרה אינספור תכונות ... על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל (1623 - 1662) אבל תואר כבר בידי המשורר והאסטרונום הפרסי עומר כיאם (1048 - 1122). זהו מבנה העשוי משורות מספרים שכל מספר בהן הוא סכום שני המספרים מימין ומשמאל בשורה מעליו. גם כאן התברר שאין גבול לתכונות המפליאות של המשולש. כך למשל, סכום ... ובתופעות שאין לכאורה כל קשר ביניהם. 24 (20) רוצים דוגמה? בבקשה: לכו אל סדרת פיבונאצי לעיל, קחו אחד ממספריה וחלקו אותו במספר הקודם. זוגות המספרים הראשונים יתנו מנות פשוטות כמו 1 או 1 2, אבל ככל שתעלו בסדרת המספרים תראו שבר ההולך ונראה כמו... 1. 618 נכון, זה יהיה מיודענו פי. המשותף לכל המשחקים האלה הוא ש - ...

... אליעד: את צריכה להגיע לזה, האם יש חוקיות? שאלה: אני רואה שיש כאן חוקיות, שהאבן עומדת והמים זורמים. אליעד: אני רוצה לתת לך דוגמא, למשל אני אזרוק קובייה, יכולים לצאת 6 מספרים, נכון? עכשיו אם אני אזרוק קובייה מבחינה הסתברותית יכולים לצאת לי מ - 1 עד 6 מספרים , נכון? אם אני אזרוק קובייה 100 פעם וכל הזמן ... יצא אחד? נגיד מישהו בא מהצד ורואה את זה, הוא יגיד יש כאן חוקיות שיוצא אחד, אבל למעשה אין כאן חוקיות שיוצא אחד. כרגע ראיתי שיצא אחד, אבל אין חוקיות כזאת, יכולים לצאת מספרים אחרים, נכון? את ובני אדם, רגילים לחשוב שב - 10 ...

... מתמטיקה למתחילים - חיבור וחיסור + טיפים לביצוע פעולות חיבור וחיסור במתמטיקה, לימוד חשבון איך לחשב חיבור של 2 מספרים בודדים - פשוט מתרגלים וזוכרים את התוצאה... טיפ: אם מחברים 2 מספרים שאחד מהם הוא 7 ומעלה והשני הוא 4 ומעלה, אז מחשבים זאת כך. שלב 1 - ניקח את ... 9 + 7. אז המספר הגדול הוא 9 והקטן הוא 7. וצריך 1 כדי להשלים את ה 9 כדי להגיע ל 10. ולכן נעשה 7 - 1 = 6. אז 10 + 6 = 16. איך עושים חיבור של שני מספרים עם כמה ספרות בכל אחד מהם? האחדות + אחדות = ספרת האחדות. אם גדול מ 10. השארית ...

... נחקור את המוח נוכל לגלות איך המנגנון עובד, אחרים עורכים ניסויים ומסכמים את המסקנות בתיאוריות. הם מספרים שיש שיתוף של מספר תהליכים סימולטנית, הם מספרים שיש רצף של תהליכים הקורים בזה אחר זה. כל אחד חוקר מקרה מסוים, ייחודי, ואחר כך מחבר אותו לקבוצת מחקרים אחרים, משווה אותו. אומרים ... העיבוד של שפה אינו חישוב של כמויות, אינו השוואות של יחסים כמותיים, אלא דרך תקשורת, מילים לעומת מספרים מייצגים אובייקטים בעולם (מראות, צלילים, וכו) לקונספטים ולכן כללים אריתמטיים לא חלים עליהם ואין להם דבר אתם. לכן, עלינו לבחון את ...

... - תורת המספרים - מבוא נומרולוגיה, היא שיטה המייחסת למספרים משמעות מיסטית. היא טוענת שמאחורי כל מספר יש אנרגיה מסוימת שאותה הוא מייצג. לטענות הנומרולוגיה אין תימוכין מדעיים. משתמשים בנומרולוגיה לצורך חקר התכונות האישיות של אדם מסוים ואפיונו, בעיקר דרך תאריך הלידה שלו ושמו על ידי חיבור מספרים עד לקבלת המספר החד ספרתי. סופרים בנפרד את יום הלידה, חודש הלידה, סהכ תאריך הלידה, שנה, יום + חודש לידה וכו. האותיות בשם מקבלות ערך מ - 1 עד 22. אין להתבלבל בין נומרולוגיה לתורת המספרים המתמטית. האחרונה היא תורה מתמטית העוסקת בתכונות של המספרים הטבעיים ולא מייחסת להם שום משמעות מיסטית. אם כי ראוי לציין שאצל המתמטיקאים היוונים ובפרט הפיתגוראים התעסקו גם במשמעות המיסטית של המספרים. עקרונות הנומרולוגיה ספרותיהם של מספרים שלמים הגדולים מ - 9 מתחברים עד לקבלת מספר בין 1 ל - 9. כמו תורות מיסטיות אחרות, גם ... כשם שהאסטרולוגיה מייחסת משמעות מסוימת (אחת ולא אחרת) למיקום יחסי מסוים של גרמי שמיים, כך אף הנומרולוגיה מייחסת משמעות מסוימת (אחת ולא אחרת) לכל מספר מבין המספרים 1 עד 9. מפרשים שונים מתייחסים להיבטים שונים של אותה משמעות, וניתן למצוא הבדלים מסוימים בין הגישות. משמעות המספרים בנומרולוגיה לכל מספר מ - 0 עד 9 משמעות משלו על פי הנומרולוגיה. המספרים מייצגים אנרגיה מסוימת ולכל אחת מהן יש את הביטוי החיובי והשלילי. להלן פירוט מקוצר של משמעות המספרים: 1המספר 1 מייצג את העקרון הזכרי. ההתחלה. הוא מלמד על התגשמותו הבראשיתית של רעיון. הביטוי ...

... היא תגלית או המצאה? מדוע המתמטיקה שימושית בתיאור היקום? באיזה מובן, אם בכלל, ישויות בסיסיות של המתמטיקה, כמו מספרים, קיימות? האם משפטים מתמטיים נכונים ובאיזה אופן? תוכן עניינים: 1 היחס לפילוסופיה הכללית 2 התפתחות המתמטיקה: תגלית או המצאה? 3 מדוע המתמטיקה עובדת? 4 יסודות המתמטיקה ומקור הוודאות ... של המוח האנושי, ואינה קיימת בלעדיו. ביטוי נחרץ לגישה זו נתן המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר, באומרו: אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם. עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים גם ריכארד דדקינד וקארל ויירשטראס. גם הפילוסוף לודוויג ויטגנשטיין החזיק בדעה שהמתמטיקאי הוא ממציא, ... לחזות תופעות באמצעות חקירת המשוואות ודדוקציה מתמטית של משפטים ומסקנות מהאקסיומות. דבר זה בא לידי ביטוי בשימוש בתורת המספרים לייצג את החשבון היומיומי שאנו עושים בהוספת והחסרת דברים, ובהסתמכות של כל תאוריה פיזיקלית כיום על משוואות מתמטיות שמתארות את האינטראקציות והקינמטיקה (תנועה) של הגופים. היטיב לבטא ... מושלם שלה. דעותיו של אפלטון כנראה מגיעות מפיתגורס וחברי האסכולה שלו, הפיתגוראים, שהאמינו כי העולם בנוי באופן ממשי ממספרים. לרעיון זה עשויים להיות מקורות קדומים יותר שאינם ידועים לנו. מתמטיקאים חשובים רבים הם ריאליסטיים, הם רואים את עצמם כמגלים. כדוגמה אפשר לציין את פאול ארדש וקורט גדל. יש שנתנו ... שלמה ועקבית (קונסיסטנטית). הילברט ביקש להראות את העקביות של המערכת המתמטית מההנחה כי האריתמטיקה הפיניטארית (כלומר, המספרים הטבעיים, שנחשבו כמקובלים על הכל מבחינה פילוסופית) היא עקבית. משפט האי שלמות השני של גדל הביא את תוכנית הילברט אל קצה, כיוון שהראה כי מערכות אקסיומטיות חזקות אינן יכולות לעולם להוכיח את העקביות של עצמן. בפרט כל מערכת אקסיומטית סבירה שתכלול את המספרים הטבעיים לא תוכל להוכיח את העקביות של עצמה. הילברט היה במקור דדוקטיביסט, אך כפי שאפשר לראות מההסבר שלנו, הוא חשב כי שיטות מטא - מתמטיות מסוימות מביאות לתוצאות משמעותיות, והוא היה ריאליסט ביחס למספרים הטבעיים. מאוחר יותר היה בדעה כי אין מטא - מתמטיקה משמעותית כלשהי, ולא משנה באיזה פירוש. פורמליסטים מודרניים, כגון רודולף קרנפ, אלפרד טרסקי והסקל קורי, חושבים כי המתמטיקה היא ... פורמאליות אך הם פעמים רבות פלאטוניסטים. פורמליסטים הם בדרך כלל סובלניים למדי, ומזמינים גישות חדשות ללוגיקה, למערכות מספרים לא סטנדרטיות, גרסאות חדשות של תורת הקבוצות, וכו. ככל שאנו משחקים יותר משחקים כן ייטב. אך בכל שלוש הדוגמאות האלה, המוטיווציה היא תמיד בשל התעניינות מתמטית או פילוסופית. המשחקים ... בעיית המעגליות. במערכת זו הם הצליחו, בסופו של דבר, לבנות הרבה מהמתמטיקה המודרנית אך באופן שונה ומסובך יותר (לדוגמה, המספרים היו שונים בכל רמה של המדרג, והיו אינסוף רמות במדרג). הם גם היו צריכים להתפשר בכמה נקודות על מנת לבנות כל כך הרבה מהמתמטיקה, כגון באקסיומת הצמצום. אפילו ראסל אמר כי האקסיומה הזו ... קיימת התאמה חד - חד ערכית בין הקבוצות המתארות את F ו - G). פרגה היה זקוק לחוק הבסיסי החמישי כדי לתת הגדרה ברורה של המספרים, אך אפשר להפיק את כל המאפיינים של המספרים מהעיקרון של יום. דבר זה לא היה מספיק בשביל פרגה כי (בפרפרזה על דבריו) אין זה מוציא מכלל אפשרות כי יוליוס קיסר=2. קונסטרוקטיביזם ואינטואיציוניזם: אינטואיציוניזם היא עמדה שבאה ... בהתאם לכך, יש לקבל לדיון המתמטי רק עצם שקיימת דרך ברורה לבנותו. ציטוט טיפוסי הוא של לאופולד קרונקר: אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל השאר הוא עבודת האדם. כוח משמעותי מאחורי האינטואיציוניזם הוא ל. אי. גיי. בראואר, שהציע לוגיקה חדשה, השונה מהלוגיקה האריסטוטלית הקלאסית, הלוגיקה האינטואיציונית אינה ...

... תכונה מיוחדת ויחידה. כל מספר יוצר מספרים או שהוא מיוצר עי המספרים שלפניו חוץ מ - 1 או - 7 המספר 2 יוצר את המספרים: 4, 6, 8 המספר 3 יוצר את המספרים 6, 9 המספר 5 יוצר את המספר 10 המספר 7 יחיד ומיוחד שאינו נכלל בין עשרת הראשונים כמספר יוצר או ... סכום הספרות הוא: - 7- שהוא מכפלת המספרים: 7X7X22, או 7X2 פעמים המילה מזל (77). X772X7 = 1078 כי היא מקור הברכה. ח - מה סודך? למנצח על ... יט המתחיל: למנצח מזמור לדוד השמים מספרים כבוד א - ל ומעשי ידיו מגיד הרקיע...מתואר העולם בשבעה פסוקים. בפסוק השמיני פתאום עובר נעים ... 36 רומז לעניין האור. סכום כל המספרים מ 1- עד 8 הם ביחד 36. (1+2+3+4+5+6+7+8 =36) מצאנו כי מספר זה רומז לענין הקשור באור או בכל גילוי ... שם י - ה ראינו את המשמעויות של המספרים והאותיות ז וח, את עצמתם הרוחנית. בחיבורם יוצרים את המספר: 15(=7+8(אשר רומז לשם: י - ה אשר מסמל ...

... מספר לא רציונלי, כלומר איו שתי מספרים שלמים שאפשר לחלק אותם בשביל להגיע ליחס הזה, ובכל זאת אנו רואים שיש לו קירוב, כלומר חוסר השלמות של המציאות עצמה נותן לתודעה הלא אובייקטיבית לקבוע את המציאות הסופית של ... שכבר במציאות המספרית של עולם המספרים יש חוסר שלמות ולמעשה גם שם לא מספיק ראיה רציונלית של קו המספרים ויש בצורה הפשוטה ביותר מספרים שחורגים מהכללים של הרציונלית לדוגמה שורש של המספר 2 הוא מספר שחורג מהרציונלית ויש לחקור אותו מתוך מבט לא רציונל. מכיוון שאני לא דן במאמר זה במתמטיקה ואני דן ברוחניות אני ...

... הורים כלשהי, אפילו של הורה אחד או שתיים מחוץ למסיבה שנכנס מידי פעם. הדרך בה ילדים מבינים היום כיצד להיות חברתיים היא דרך הטלוויזיה ודרך אחים גדולים שמספרים להם סיפורים דמיוניים של מה שהם עשו. הנערים והנערות זקוקים לכן מאד להורים שבאים, ובעיקר לאבות. כי הילדים לא מכירים את האבות טוב כל כך כמו ... כזו שלא ניתנה הזדמנות למציאות להפתיע אותם בסיטואציה שבה פתאום תתקיים מסיבה בבית של ילד ואין שם הורים כלל ויש בר שפתוח והילדים מתנסים. לפעמים ההורים מספרים למחנך מה היה בישיבות ההורים שהוא לא נוכח בהם, ולפעמים לא. אין הדבר משנה. כמחנך העבודה הסוציאלית עם ההורים חשובה. משום שלעיתים אין למורה ... - פועל, תואר, מבנה תחבירי נכון של משפט, פיסוק, התחלת שורשים, גוף ראשון שני ושלישי, שם עצם, נקבה, זכר, יחיד, רבים. חשבון 1- חזרה על כתה ג. וכן תכונות מספרים פרוקים וראשוניים. חשבון 2 - שברים פשוטים. לימוד מהשלם אל החלקים שבתוכו. סיפורי הצפון - מסע של גילוי עצמי, עבודה על מוסריות, הבנת הנקרא, ...