... ה - 19 הדגיש את חשיבותו של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית. ... את המתמטיקה כתורה המטפלת במודלים אקסיומטיים, שבהם האקסיומות נבחרות באופן שרירותי, בלי קשר ... המצאתה של גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים שונה מזו של הגאומטריה ... ודדוקציה מתמטית של משפטים ומסקנות מהאקסיומות. דבר זה בא לידי ביטוי בשימוש בתורת ... אותה כמורכבת ממחרוזות מסוימות הקרויות אקסיומות ומכמה חוקים המייצרים מהמחרוזות ... כך שחוקי המשחק נעשים לאמיתיים (כלומר, אקסיומות הן אמירות נכונות, והחוקים שאיתם ... רבים טוענים כי למעשה המערכות האקסיומטיות שאותן יחקרו יהיו אלה שיועילו ... שמטרתו (תוכנית הילברט) הייתה להביא לאקסיומטיקה שלמה ועקבית (קונסיסטנטית). ... הילברט אל קצה, כיוון שהראה כי מערכות אקסיומטיות חזקות אינן יכולות לעולם להוכיח את העקביות של עצמן. בפרט כל מערכת אקסיומטית סבירה שתכלול את המספרים הטבעיים ... כי המתמטיקה היא חקירה של מערכות אקסיומטיות פורמאליות. לוגיקנים מתמטיים ... הזה. הפורמליזם גם לא מסביר איזה מערכת אקסיומות יש לחקור. לוגיציזם: הלוגיציזם טוען ... מנת לבנות כל כך הרבה מהמתמטיקה, כגון באקסיומת הצמצום. אפילו ראסל אמר כי האקסיומה הזו לא באמת שייכת ללוגיקה. לוגיקנים ... היא אינה מסכימה עם הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה נדחית אף היא. עבודה חשובה ... אומרים כי ישנה אמונה רבה מדי בהוכחות אקסיומטיות ובביקורת עמיתים הדדית. את טבעה ... אמפיריציסטיות, ולזנוח את ההוכחות האקסיומטיות והקשוחות - אם כי יש סיכוי גדול ...

... מופרכת? נבדוק על אילו טענות היא נשענת, ועל אילו טענות נשענות הטענות ההן עצמן וכך הלאה עד שנגיע לכמה אקסיומות , הנחות כל כך פשוטות עד שלא ניתן להוכיחן בלי להסתבך במעגליות, אבל גם לא להפריכן. ששת הפרקים (ספרים) הראשונים ביסודות עסקו בגיאומטריה, שביסודה מצא אוקלידס חמש אקסיומות כאלה: 1) דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר אחד, 2) כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר, 3) בהינתן נקודה וקטע, אפשר להעביר מעגל שמרכזו בנקודה ורדיוסו שווה ... זה עם זה באותו צד אם יהיו ארוכים עד אינסוף. מכאן המשיך לאריתמטיקה (תורת המספרים) וגם ביסודה מצא חמש אקסיומות : 1) שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, 2) אם יתווספו גדלים שווים לגדלים שווים יהיו הסכומים שווים, 3) אם יחוסרו גדלים שווים מגדלים שווים יהיו ההפרשים ...

... המושתתות על אופני ביטוי סימבוליים, ללא תלות בתחביר של השפה הטבעית. כך נולדה הלוגיקה המתמטית, המתמקדת במושג ההוכחה ובתכונותיהן של מערכות אקסיומטיות שונות. לפיכך בעוד שבראשית הלוגיקה נושא המחקר היה חוקי החשיבה הנכונה, נכון יותר לתאר את העניין של ... ואינו בו זמנית וביחס לאותו עצם... ומכאן שכל אדם המדגים דבר כלשהו, מתייחס לעקרון זה כהנחה הראשונית, משום שזוהי מטבע הדברים נקודת המוצא לכל שאר האקסיומות 2) חוק השלישי הנמנע - לפיו טענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, ואין שום אפשרות ביניים שלישית. ... של פרגה כתב מושגים, ספרו הראשון והמהפכני של פרגה מ - 1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה. בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב פרדיקטים, המנתח את מבנה הטענה כבעלת שני חלקים בלבד. בעוד שאריסטו ... של לוגיציזם - העמדה לפיה ניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה. פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שאותן תפס פרגה כלוגיות במובהק. לאחר שפורסם הכרך הראשון של ספרו השלישי, חוקי היסוד של האריתמטיקה, ברטראנד ראסל גילה את הפרדוקס של ראסל, והצליח להראות שהאקסיומות של פרגה, ובמיוחד אקסיומה מספר חמש, מובילות אליו (מן האקסיומה החמישית נובע כי עבור כל מושג, יש אובייקט המהווה את האקסטנציה של מושג). הוא כתב על כך לפרגה, שהוסיף ... אלא גם של מערכות לוגיות שלמות, תכונות כגון שלמות, נאותות, כריעות וקומפקטיות, שהן תכונות הנוגעות לאפשרויות ההבעה הגלומות בשפה מסוימת או במערכת אקסיומטית מסוימת, ולא תכונות של טענה או של קבוצה מסוימת של טענות. הלוגיקה המודרנית סיפקה, באמצעים אלו, את ... בר השוואה לזה של הלוגיקה האריסטוטלית. התחשיב הוא מערכת פורמאלית שיש בה נוסחאות בנויות כהלכה (נבכ) מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק הקובעים אילו נוסחאות ניתן לגזור מאילו, ובכך להוכיח אותן. התחביר של התחשיב ... סתירה בין אי אלו מן הטענות המוכלות בהן שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות. נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות של טיעון, שהיא התכונה של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, נאותות של מערכת לוגית היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי חוקי התחשיב, אזי נוסחה זו אמיתית. הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח ... להוכחה, היא אמיתית) ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת). תחשיב הפרדיקטים תחשיב פרדיקטים מסדר ראשון הוא מערכת אקסיומטית המאפשרת לטפל בפסוקים שהמבנה הבסיסי שלהן כולל נשואים (פרדיקטים) החלים על אובייקטים, או על משתנים ... כמו יורד גשם, ניתן להפעיל את האופרטורים המודליים של ההכרח והאפשרות ולקבל בהכרח יורד גשם או אפשרי שיורד גשם. הלוגיקה המודלית מציעה מספר מערכות אקסיומטיות בעלות תכונות שונות, והיא ניתנת להחלה במספר תחומים נוספים, למשל לשם תיאור מושגים דאונטיים (מושגי ... בראואר. היא אינה מכירה בחוק השלישי הנמנע (לפיו כל טענה היא אמיתית או שקרית, ללא חלופה אפשרית אחרת), ולפיכך היא אינה מאפשרת הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה של תורת הקבוצות נדחית אף היא. הלוגיקה האינטואיציוניסטית נוסחה באופן פורמאלי על ידי ארנד ...

... הגאומטריה האוקלידית בתור דוגמה למערכת ידיעה נאותה. הם התפעלו ממבנה הכולל אקסיומות ומשפטים שמוכחים מהן באופן דדוקטיבי וחלקם שאפו לבנות מערכת כזו עבור כל הידיעה בכללותה. אידאליזם על פי האידאליזם ידיעה נרכשת בתהליך אפריורי בתוך הנפש מתוך ... שאינו זקוק לשום הצדקה נוספת. משפטי יסוד אלו נחשבים למשפטים בסיסיים, מעין אקסיומות , והם יכולים להחשב לברורים מאליהם (כלומר בעלי הצדקה שחלה על עצמה) או כאלה שלא ניתנים לטעות. תפיסה, זיכרון ואינטואיציה אפריורית מאומצים לעתים ובתאוריות ...

... אי פעם להטיל בהם ספק? הרי אלו עובדות, לא? כמעט אקסיומות . בפועל, אלו מחשבות. מחשבות שאנו מאמינים בהן, עד כדי כך שהן הופכות לעובדות, לחלק מהמציאות שלנו, ... אמיתי בהרגלים ובהתנהגות האכילה, עלינו להיפרד מכמה אקסיומות כאלה שלנו, או להחליף אותן במחשבות אחרות, אשר יכולות לקדם אותנו, להוציא אותנו מהמקום המוחלט הזה, ...

... מדעי? חשיבה מדעית היא כל מכלול עקבי של ידע מוסק, הניתן לבחינה לפי אקסיומות בסיס. כלומר ישנם מספר פרמטרים שצריכים להתקיים על מנת שמשהו יחשב מדעי. האחד, הנחות היסוד מבוססות על אבני בניין (יסודות, אקסיומות) ממשיים אותם ניתן למדוד ולהעריך. שתיים, ניתן להוכיח קשר של סיבה ותוצאה, גורם ונמשך, ושלוש, ניתן להוכיח עקביות של הקשר ...

... התנאים ההכרחיים להשגת הידיעה האמיתית אך אינו יכול לספק את התוכן של הידיעה. בנוסף, להיסק הלוגי הפורמאלי יש שני חסרונות נוספים א. ההיסקים הלוגיים מבוססים על מערכת ההנחות (אקסיומות). בהשתנות ההנחות משתנות המסקנות. במילים אחרות - אקסיומות שונות מובילות לאמיתות שונות. ב. בשלהי המאה ה - 20 המתמטיקאי ...

... על הנייר לגילוי במציאות: הדוגמה של תורת האטום ראינו, אם כן, שהתפתחות חוקי הפיסיקה דומה לתהליך האוקלידי: תחילה נעשה ויתור על אקסיומות שמתברר שאפשר להסתדר בלעדיהן. הבניין החדש שנבנה על הבסיס הצר יותר הוא, למרבה ההפתעה, ...

... ומתנהג באופן התואם תחזיות מתמטיות בכפוף לחוקים טבעיים, היה חלק חשוב בהתפתחות הרעיון המרכזי של התנועה. אקסיומות הדאיזם גובשו בעיקר בעת המהפכה המדעית באירופה של המאה ה - 17, ונעשו פופולריות עם ניצני החילון וההארה האנושית בפתח המאה ה - ...

... לקיומו או אי קיומו של אלוהים ניתן להפריך בקלות. לכל הוכחה יש הנחות יסוד, אקסיומות. ועל ידי חשיפת הנחות היסוד אפשר למוטט כל הוכחה. ...