... על משטח בגאומטריה היפרבולית. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית העקבית במאה ה - 19 הדגיש את חשיבותו של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית. ... לשאלה זו אינה מובנת מאליה. בעקבות עבודתו של דוויד הילברט, נהוג היום לראות את המתמטיקה כתורה המטפלת במודלים אקסיומטיים , שבהם האקסיומות נבחרות באופן שרירותי, בלי קשר למציאות, רק בתנאי שיהיו עקביות. גישה זו זכתה לחיזוק בעקבות גילויה המצאתה של גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים שונה מזו של הגאומטריה ... מצוין של המציאות, אלא גם את היכולת לחזות תופעות באמצעות חקירת המשוואות ודדוקציה מתמטית של משפטים ומסקנות מהאקסיומות. דבר זה בא לידי ביטוי בשימוש בתורת ... (רצף של סימנים). לדוגמה, במשחק של הגאומטריה האוקלידית (שאפשר להבין אותה כמורכבת ממחרוזות מסוימות הקרויות אקסיומות ומכמה חוקים המייצרים מהמחרוזות ... פיתגורס אינו אמת מוחלטת, אלא אמת יחסית: אם מייחסים משמעות למחרוזות כך שחוקי המשחק נעשים לאמיתיים (כלומר, אקסיומות הן אמירות נכונות, והחוקים שאיתם ... להמשיך בעבודתו, ולהשאיר את הבעיות האלה לפילוסוף או למדען. פורמאליסטים רבים טוענים כי למעשה המערכות האקסיומטיות שאותן יחקרו יהיו אלה שיועילו ביותר ... מתמטיים אחרים. אחד מהראשונים שהציעו את הפורמליזם היה דוויד הילברט, שמטרתו (תוכנית הילברט) הייתה להביא לאקסיומטיקה שלמה ועקבית (קונסיסטנטית). הילברט ... מבחינה פילוסופית) היא עקבית. משפט האי שלמות השני של גדל הביא את תוכנית הילברט אל קצה, כיוון שהראה כי מערכות אקסיומטיות חזקות אינן יכולות לעולם להוכיח את העקביות של עצמן. בפרט כל מערכת אקסיומטית סבירה שתכלול את המספרים הטבעיים לא ... פורמליסטים מודרניים, כגון רודולף קרנפ, אלפרד טרסקי והסקל קורי, חושבים כי המתמטיקה היא חקירה של מערכות אקסיומטיות פורמאליות. לוגיקנים מתמטיים חוקרים ... המושגים של המשחקים האלה, ההוכחות כמעט אף פעם אינן נעשות למעשה באופן הזה. הפורמליזם גם לא מסביר איזה מערכת אקסיומות יש לחקור. לוגיציזם: הלוגיציזם טוען ... והיו אינסוף רמות במדרג). הם גם היו צריכים להתפשר בכמה נקודות על מנת לבנות כל כך הרבה מהמתמטיקה, כגון באקסיומת הצמצום. אפילו ראסל אמר כי האקסיומה הזו לא באמת שייכת ללוגיקה. לוגיקנים ... (החוק שאומר שדבר חייב להיות אמת או שקר, ושאין אפשרות אחרת), ולפיכך היא אינה מסכימה עם הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה נדחית אף היא. עבודה חשובה ... האנליזה על ידי הבחינה מחדש של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה - 19. הם גם אומרים כי ישנה אמונה רבה מדי בהוכחות אקסיומטיות ובביקורת עמיתים הדדית. את טבעה ... הוא הציע כי יצורים מעולם אחר שעוסקים במתמטיקה, עשויים בהחלט להעדיף שיטות אמפיריציסטיות, ולזנוח את ההוכחות האקסיומטיות והקשוחות - אם כי יש סיכוי גדול ...

... אילו טענות היא נשענת, ועל אילו טענות נשענות הטענות ההן עצמן וכך הלאה עד שנגיע לכמה אקסיומות, הנחות כל כך פשוטות עד שלא ... ששת הפרקים (ספרים) הראשונים ביסודות עסקו בגיאומטריה, שביסודה מצא אוקלידס חמש אקסיומות כאלה: 1) דרך כל שתי נקודות ... צד אם יהיו ארוכים עד אינסוף. מכאן המשיך לאריתמטיקה (תורת המספרים) וגם ביסודה מצא חמש אקסיומות: 1) שני גדלים השווים לגודל ...

... ומוביל בעיקר לטעויות. לעומת זאת, מערכת בנויה היטב של שכילה תוכל להוות בסיס איתן ואמין לידיעה. הרציונליסטים שאבו השראה ממבנה הגאומטריה האוקלידית בתור דוגמה למערכת ידיעה נאותה. הם התפעלו ממבנה הכולל אקסיומות ומשפטים שמוכחים מהן באופן דדוקטיבי וחלקם שאפו לבנות מערכת כזו עבור כל הידיעה בכללותה. ... לעמדות ספקניות. פתרונות אחרים הם בעיקרם מסדתנות קוהרנטיות ורגרסיה. מסדתנות על פי המסדתנות (Foundationalism) ישנו מסד לידיעה שאינו זקוק לשום הצדקה נוספת. משפטי יסוד אלו נחשבים למשפטים בסיסיים, מעין אקסיומות, והם יכולים להחשב לברורים מאליהם (כלומר בעלי הצדקה שחלה על עצמה) או כאלה שלא ניתנים לטעות. ...

... באמצעות שפות מלאכותיות המושתתות על אופני ביטוי סימבוליים, ללא תלות בתחביר של השפה הטבעית. כך נולדה הלוגיקה המתמטית, המתמקדת במושג ההוכחה ובתכונותיהן של מערכות אקסיומטיות שונות. לפיכך בעוד שבראשית הלוגיקה נושא המחקר היה חוקי החשיבה הנכונה, נכון יותר לתאר את העניין ... שדבר מסוים הינו ואינו בו זמנית וביחס לאותו עצם... ומכאן שכל אדם המדגים דבר כלשהו, מתייחס לעקרון זה כהנחה הראשונית, משום שזוהי מטבע הדברים נקודת המוצא לכל שאר האקסיומות 2) חוק השלישי הנמנע - לפיו טענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, ואין שום אפשרות ביניים שלישית. ... ויטגנשטיין. חידושיו של פרגה כתב מושגים, ספרו הראשון והמהפכני של פרגה מ - 1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה. בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב פרדיקטים, המנתח את מבנה הטענה כבעלת שני חלקים בלבד. בעוד שאריסטו ... התומך המשמעותי הראשון של לוגיציזם - העמדה לפיה ניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה. פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שאותן תפס פרגה כלוגיות במובהק. לאחר שפורסם הכרך הראשון של ספרו השלישי, חוקי היסוד של האריתמטיקה, ברטראנד ראסל גילה את הפרדוקס של ראסל, והצליח להראות שהאקסיומות של פרגה, ובמיוחד אקסיומה מספר חמש, מובילות אליו (מן האקסיומה החמישית נובע כי עבור כל מושג, יש אובייקט המהווה את האקסטנציה של מושג). הוא כתב על כך לפרגה, שהוסיף ... הטענה ושל הטיעון, אלא גם של מערכות לוגיות שלמות, תכונות כגון שלמות, נאותות, כריעות וקומפקטיות, שהן תכונות הנוגעות לאפשרויות ההבעה הגלומות בשפה מסוימת או במערכת אקסיומטית מסוימת, ולא תכונות של טענה או של קבוצה מסוימת של טענות. הלוגיקה המודרנית סיפקה, באמצעים אלו, את ... כוח ביטוי שאינו בר השוואה לזה של הלוגיקה האריסטוטלית. התחשיב הוא מערכת פורמאלית שיש בה נוסחאות בנויות כהלכה (נבכ) מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק הקובעים אילו נוסחאות ניתן לגזור מאילו, ובכך להוכיח אותן. התחביר של התחשיב ... מערכות לוגיות שאין סתירה בין אי אלו מן הטענות המוכלות בהן שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות. נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות של טיעון, שהיא התכונה של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, נאותות של מערכת לוגית היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי חוקי התחשיב, אזי נוסחה זו אמיתית. הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח ... (כלומר, כל נוסחה שניתנת להוכחה, היא אמיתית) ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת). תחשיב הפרדיקטים תחשיב פרדיקטים מסדר ראשון הוא מערכת אקסיומטית המאפשרת לטפל בפסוקים שהמבנה הבסיסי שלהן כולל נשואים (פרדיקטים) החלים על אובייקטים, או על משתנים ... לדוגמה, על פסוק כמו יורד גשם, ניתן להפעיל את האופרטורים המודליים של ההכרח והאפשרות ולקבל בהכרח יורד גשם או אפשרי שיורד גשם. הלוגיקה המודלית מציעה מספר מערכות אקסיומטיות בעלות תכונות שונות, והיא ניתנת להחלה במספר תחומים נוספים, למשל לשם תיאור מושגים דאונטיים (מושגי ... לויצן אגברטוס יאן בראואר. היא אינה מכירה בחוק השלישי הנמנע (לפיו כל טענה היא אמיתית או שקרית, ללא חלופה אפשרית אחרת), ולפיכך היא אינה מאפשרת הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה של תורת הקבוצות נדחית אף היא. הלוגיקה האינטואיציוניסטית נוסחה באופן פורמאלי על ידי ארנד ...

... האם ניסינו אי פעם להטיל בהם ספק? הרי אלו עובדות, לא? כמעט אקסיומות . בפועל, אלו מחשבות. ... שינוי אמיתי בהרגלים ובהתנהגות האכילה, עלינו להיפרד מכמה אקסיומות כאלה שלנו, או להחליף אותן ...

... מבוססות על סיבתיות והיגיון בריא. כנל לגבי כל גאון ששינה את פני הדור וההיסטוריה. מהי חשיבה באופן מדעי? חשיבה מדעית היא כל מכלול עקבי של ידע מוסק, הניתן לבחינה לפי אקסיומות בסיס. כלומר ישנם מספר פרמטרים שצריכים להתקיים על מנת שמשהו יחשב מדעי. האחד, הנחות היסוד מבוססות על אבני בניין (יסודות, אקסיומות) ממשיים אותם ניתן למדוד ולהעריך. שתיים, ניתן להוכיח קשר של סיבה ותוצאה, גורם ונמשך, ...

... אך אינו יכול לספק את התוכן של הידיעה. בנוסף, להיסק הלוגי הפורמאלי יש שני חסרונות נוספים א. ההיסקים הלוגיים מבוססים על מערכת ההנחות (אקסיומות) . בהשתנות ההנחות משתנות המסקנות. במילים אחרות - אקסיומות שונות מובילות לאמיתות שונות. ב. בשלהי המאה ה - 20 ...

... לאינסוף - חלק 4 פילוסופיה - אי שלמות שואפת לאינסוף - חלק 3. מגילוי על הנייר לגילוי במציאות: הדוגמה של תורת האטום ראינו, אם כן, שהתפתחות חוקי הפיזיקה דומה לתהליך האוקלידי: תחילה נעשה ויתור על אקסיומות שמתברר שאפשר להסתדר בלעדיהן. הבניין החדש שנבנה על הבסיס הצר יותר ...

... דטרמינאלי, ומתנהג באופן התואם תחזיות מתמטיות בכפוף לחוקים טבעיים, היה חלק חשוב בהתפתחות הרעיון המרכזי של התנועה. אקסיומות הדאיזם גובשו בעיקר בעת המהפכה המדעית באירופה של המאה ה - 17, ונעשו פופולריות עם ניצני ...

... אלוהים - הוכחות כל הוכחה לקיומו או אי קיומו של אלוהים ניתן להפריך בקלות. לכל הוכחה יש הנחות יסוד, אקסיומות . ועל ידי חשיפת הנחות היסוד אפשר למוטט כל הוכחה. אמונה דבר שלא ביררת בשלמות. גם ידיעה היא אמונה. כאשר מבררים משהו בשלמות, החומות נופלות ויוצאים מגדר האמונה אל המוחלט, אל ...