... משולש על משטח בגאומטריה היפרבולית. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית העקבית במאה ה - 19 הדגיש את חשיבותו של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית. בפילוסופיה של המתמטיקה יש כמה אסכולות, שמתמקדות בשאלות מטאפיזיות, כלומר: מדוע המתמטיקה פועלת?, ובשאלה קשורה אך ... התשובה לשאלה זו אינה מובנת מאליה. בעקבות עבודתו של דוויד הילברט, נהוג היום לראות את המתמטיקה כתורה המטפלת במודלים אקסיומטיים, שבהם האקסיומות נבחרות באופן שרירותי, בלי קשר למציאות, רק בתנאי שיהיו עקביות. גישה זו זכתה לחיזוק בעקבות גילויה / המצאתה של גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים שונה מזו של הגאומטריה האוקלידית. שתי הגאומטריות הללו תקפות מתמטית בדיוק באותה מידה, אולם סביר שרק אחת מהן ... רק תיאור מצוין של המציאות, אלא גם את היכולת לחזות תופעות באמצעות חקירת המשוואות ודדוקציה מתמטית של משפטים ומסקנות מהאקסיומות. דבר זה בא לידי ביטוי בשימוש בתורת המספרים לייצג את החשבון היומיומי שאנו עושים בהוספת והחסרת דברים, ובהסתמכות של ... חוקי מניפולציה של מחרוזות (רצף של סימנים). לדוגמה, במשחק של הגאומטריה האוקלידית (שאפשר להבין אותה כמורכבת ממחרוזות מסוימות הקרויות אקסיומות ומכמה חוקים המייצרים מהמחרוזות הראשונות מחרוזות נוספות), אפשר להוכיח כי משפט פיתגורס מתקיים (כלומר, אפשר ליצור את המחרוזת המקבילה ... בדדוקטיביזם, משפט פיתגורס אינו אמת מוחלטת, אלא אמת יחסית: אם מייחסים משמעות למחרוזות כך שחוקי המשחק נעשים לאמיתיים (כלומר, אקסיומות הן אמירות נכונות, והחוקים שאיתם פועלים גם הם אמיתיים), אז יש לקבל את המשפט, או ליתר דיוק, הפירוש שניתן ... שיטה זו מאפשרת למתמטיקאי להמשיך בעבודתו, ולהשאיר את הבעיות האלה לפילוסוף או למדען. פורמאליסטים רבים טוענים כי למעשה המערכות האקסיומטיות שאותן יחקרו יהיו אלה שיועילו ביותר למדע או לתחומים מתמטיים אחרים. אחד מהראשונים שהציעו את הפורמליזם היה דוויד הילברט, שמטרתו (תוכנית הילברט) הייתה להביא לאקסיומטיקה שלמה ועקבית (קונסיסטנטית). הילברט ביקש להראות את העקביות של המערכת המתמטית מההנחה כי האריתמטיקה הפיניטארית (כלומר, המספרים הטבעיים, שנחשבו ... פילוסופית) היא עקבית. משפט האי שלמות השני של גדל הביא את תוכנית הילברט אל קצה, כיוון שהראה כי מערכות אקסיומטיות חזקות אינן יכולות לעולם להוכיח את העקביות של עצמן. בפרט כל מערכת אקסיומטית סבירה שתכלול את המספרים הטבעיים לא תוכל להוכיח את העקביות של עצמה. הילברט היה במקור דדוקטיביסט, אך כפי שאפשר ... משנה באיזה פירוש. פורמליסטים מודרניים, כגון רודולף קרנפ, אלפרד טרסקי והסקל קורי, חושבים כי המתמטיקה היא חקירה של מערכות אקסיומטיות פורמאליות. לוגיקנים מתמטיים חוקרים מערכות פורמאליות אך הם פעמים רבות פלאטוניסטים. פורמליסטים הם בדרך כלל סובלניים למדי, ומזמינים גישות ... המושגים של המשחקים האלה, ההוכחות כמעט אף פעם אינן נעשות למעשה באופן הזה. הפורמליזם גם לא מסביר איזה מערכת אקסיומות יש לחקור. לוגיציזם: הלוגיציזם טוען כי הלוגיקה היא הבסיס של המתמטיקה, וכי כל האמירות המתמטיות הן אמיתות לוגיות מוכרחות. ... והיו אינסוף רמות במדרג). הם גם היו צריכים להתפשר בכמה נקודות על מנת לבנות כל כך הרבה מהמתמטיקה, כגון באקסיומת הצמצום. אפילו ראסל אמר כי האקסיומה הזו לא באמת שייכת ללוגיקה. לוגיקנים מודרניים שבו לתוכנית הקרובה יותר לזו של פרגה. הם נטשו את החוק הבסיסי ... (החוק שאומר שדבר חייב להיות אמת או שקר, ושאין אפשרות אחרת), ולפיכך היא אינה מסכימה עם הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה נדחית אף היא. עבודה חשובה נעשתה לאחר מכן על ידי ארנד הייטינג, שהיה תלמידו של ברואר, שניסח באופן ... ידי הבחינה מחדש של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה - 19. הם גם אומרים כי ישנה אמונה רבה מדי בהוכחות אקסיומטיות ובביקורת עמיתים הדדית. את טבעה החברתי של המתמטיקה אפשר לראות בתתי - התרבות שלה. אפשר לעשות גילויים חשובים בענף ... מעין - אמפיריציסטיות. הוא הציע כי יצורים מעולם אחר שעוסקים במתמטיקה, עשויים בהחלט להעדיף שיטות אמפיריציסטיות, ולזנוח את ההוכחות האקסיומטיות והקשוחות - אם כי יש סיכוי גדול יותר שהם יטעו בחישוביהם. פעולה ומעשה: חוקרים רבים שאינם עוסקים בהוכחת משפטים ...

... מופרכת? נבדוק על אילו טענות היא נשענת, ועל אילו טענות נשענות הטענות ההן עצמן וכך הלאה עד שנגיע לכמה אקסיומות, הנחות כל כך פשוטות עד שלא ניתן להוכיחן בלי להסתבך במעגליות, אבל גם לא להפריכן. ששת הפרקים (ספרים) הראשונים ביסודות עסקו בגיאומטריה, שביסודה מצא אוקלידס חמש אקסיומות כאלה: 1) דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר אחד, 2) כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ... זה עם זה באותו צד אם יהיו ארוכים עד אינסוף. מכאן המשיך לאריתמטיקה (תורת המספרים) וגם ביסודה מצא חמש אקסיומות: 1) שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, 2) אם יתווספו גדלים שווים לגדלים שווים יהיו הסכומים שווים, 3) ...

... בסיס איתן ואמין לידיעה. הרציונליסטים שאבו השראה ממבנה הגאומטריה האוקלידית בתור דוגמה למערכת ידיעה נאותה. הם התפעלו ממבנה הכולל אקסיומות ומשפטים שמוכחים מהן באופן דדוקטיבי וחלקם שאפו לבנות מערכת כזו עבור כל הידיעה בכללותה. אידאליזם על פי האידאליזם ידיעה ... על פי המסדתנות (Foundationalism) ישנו מסד לידיעה שאינו זקוק לשום הצדקה נוספת. משפטי יסוד אלו נחשבים למשפטים בסיסיים, מעין אקסיומות, והם יכולים להחשב לברורים מאליהם (כלומר בעלי הצדקה שחלה על עצמה) או כאלה שלא ניתנים לטעות. תפיסה, זיכרון ואינטואיציה ...

... אופני ביטוי סימבוליים, ללא תלות בתחביר של השפה הטבעית. כך נולדה הלוגיקה המתמטית, המתמקדת במושג ההוכחה ובתכונותיהן של מערכות אקסיומטיות שונות. לפיכך בעוד שבראשית הלוגיקה נושא המחקר היה חוקי החשיבה הנכונה, נכון יותר לתאר את העניין של הלוגיקה המודרנית ... ומכאן שכל אדם המדגים דבר כלשהו, מתייחס לעקרון זה כהנחה הראשונית, משום שזוהי מטבע הדברים נקודת המוצא לכל שאר האקסיומות 2) חוק השלישי הנמנע - לפיו טענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, ואין שום אפשרות ביניים שלישית. מכאן, ... של פרגה מ - 1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה. בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב פרדיקטים, המנתח את מבנה הטענה כבעלת שני חלקים בלבד. בעוד שאריסטו סבר כי לטענות ... ניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה. פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שאותן תפס פרגה כלוגיות במובהק. לאחר שפורסם הכרך הראשון של ספרו השלישי, חוקי היסוד של האריתמטיקה, ברטראנד ראסל גילה את הפרדוקס של ראסל, והצליח להראות שהאקסיומות של פרגה, ובמיוחד אקסיומה מספר חמש, מובילות אליו (מן האקסיומה החמישית נובע כי עבור כל מושג, יש אובייקט המהווה את האקסטנציה של מושג). הוא כתב על כך לפרגה, שהוסיף ... מערכות לוגיות שלמות, תכונות כגון שלמות, נאותות, כריעות וקומפקטיות, שהן תכונות הנוגעות לאפשרויות ההבעה הגלומות בשפה מסוימת או במערכת אקסיומטית מסוימת, ולא תכונות של טענה או של קבוצה מסוימת של טענות. הלוגיקה המודרנית סיפקה, באמצעים אלו, את היסודות למדעי ... הלוגיקה האריסטוטלית. התחשיב הוא מערכת פורמאלית שיש בה נוסחאות בנויות כהלכה (נבכ) מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק הקובעים אילו נוסחאות ניתן לגזור מאילו, ובכך להוכיח אותן. התחביר של התחשיב מגדיר באופן ... בהן שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות. נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות של טיעון, שהיא התכונה של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, נאותות של מערכת לוגית היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי חוקי התחשיב, אזי נוסחה זו אמיתית. הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח מכוח משמעותם של המונחים ... ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת). תחשיב הפרדיקטים תחשיב פרדיקטים מסדר ראשון הוא מערכת אקסיומטית המאפשרת לטפל בפסוקים שהמבנה הבסיסי שלהן כולל נשואים (פרדיקטים) החלים על אובייקטים, או על משתנים שערכיהם הם אובייקטים. הפרדיקטים ... את האופרטורים המודליים של ההכרח והאפשרות ולקבל בהכרח יורד גשם או אפשרי שיורד גשם. הלוגיקה המודלית מציעה מספר מערכות אקסיומטיות בעלות תכונות שונות, והיא ניתנת להחלה במספר תחומים נוספים, למשל לשם תיאור מושגים דאונטיים (מושגי החובה וההיתר המוסרי, אותם ... הנמנע (לפיו כל טענה היא אמיתית או שקרית, ללא חלופה אפשרית אחרת), ולפיכך היא אינה מאפשרת הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה של תורת הקבוצות נדחית אף היא. הלוגיקה האינטואיציוניסטית נוסחה באופן פורמאלי על ידי ארנד הייטינג וארט בישופ, וקיבלה ...

... משפטים ששמענו את עצמנו אומרים לא פעם? האם ניסינו אי פעם להטיל בהם ספק? הרי אלו עובדות, לא? כמעט אקסיומות. בפועל, אלו מחשבות. מחשבות שאנו מאמינים בהן, עד כדי כך שהן הופכות לעובדות, לחלק מהמציאות שלנו, ולכן נראה שאינן ... כך חזק מאתנו, היא הופכת בעינינו לעובדה, לחלק מהמציאות. כדי לעשות שינוי אמיתי בהרגלים ובהתנהגות האכילה, עלינו להיפרד מכמה אקסיומות כאלה שלנו, או להחליף אותן במחשבות אחרות, אשר יכולות לקדם אותנו, להוציא אותנו מהמקום המוחלט הזה, כי כל זמן ...

... פני הדור וההיסטוריה. מהי חשיבה באופן מדעי? חשיבה מדעית היא כל מכלול עקבי של ידע מוסק, הניתן לבחינה לפי אקסיומות בסיס. כלומר ישנם מספר פרמטרים שצריכים להתקיים על מנת שמשהו יחשב מדעי. האחד, הנחות היסוד מבוססות על אבני בניין (יסודות, אקסיומות) ממשיים אותם ניתן למדוד ולהעריך. שתיים, ניתן להוכיח קשר של סיבה ותוצאה, גורם ונמשך, ושלוש, ניתן להוכיח עקביות של ...

... את התוכן של הידיעה. בנוסף, להיסק הלוגי הפורמאלי יש שני חסרונות נוספים א. ההיסקים הלוגיים מבוססים על מערכת ההנחות (אקסיומות). בהשתנות ההנחות משתנות המסקנות. במילים אחרות - אקסיומות שונות מובילות לאמיתות שונות. ב. בשלהי המאה ה - 20 המתמטיקאי האוסטרי קורט גודל הגה את המשפט הנקרא - ...

... לגילוי במציאות: הדוגמה של תורת האטום ראינו, אם כן, שהתפתחות חוקי הפיזיקה דומה לתהליך האוקלידי: תחילה נעשה ויתור על אקסיומות שמתברר שאפשר להסתדר בלעדיהן. הבניין החדש שנבנה על הבסיס הצר יותר הוא, למרבה ההפתעה, חזק ורחב יותר, כלומר, מופיעים ...

... הכלל, הוא דטרמינאלי, ומתנהג באופן התואם תחזיות מתמטיות בכפוף לחוקים טבעיים, היה חלק חשוב בהתפתחות הרעיון המרכזי של התנועה. אקסיומות הדאיזם גובשו בעיקר בעת המהפכה המדעית באירופה של המאה ה - 17, ונעשו פופולריות עם ניצני החילון וההארה האנושית ...

... אלוהים - הוכחות כל הוכחה לקיומו או אי קיומו של אלוהים ניתן להפריך בקלות. לכל הוכחה יש הנחות יסוד, אקסיומות. ועל ידי חשיפת הנחות היסוד אפשר למוטט כל הוכחה. אמונה דבר שלא ביררת בשלמות. גם ידיעה היא אמונה. כאשר ...