... למשל כדי לומר שדני (a) הוא חבר של רני (b), תוך ציון יחס החברות באמצעות האות R, נקבל את הנוסחה הבאה: Rab פרגה תרם תרומה הכרחית למתמטיקה וללוגיקה באמצעות המצאת תורת הכימות (קוונטיפיקציה). הלוגיקה החדשה אינה תופסת את הכמת ... בכמתים, ובכך מעניק ללוגיקה כוח ביטוי שאינו בר השוואה לזה של הלוגיקה האריסטוטלית. התחשיב הוא מערכת פורמאלית שיש בה נוסחאות בנויות כהלכה (נבכ) מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק הקובעים אילו נוסחאות ניתן לגזור מאילו, ובכך להוכיח אותן. התחביר של התחשיב מגדיר באופן רקורסיבי את כל הנבכים של התחשיב. בלוגיקה המודרנית, ... סתירה בין אי אלו מן הטענות המוכלות בהן שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות. נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות של טיעון, שהיא התכונה של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, נאותות של מערכת לוגית היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי חוקי התחשיב, אזי נוסחה זו אמיתית. הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח מכוח משמעותם של המונחים המקושרים בה והאופן בו הם מקושרים. לפי הגדרות אלו, למערכת יש שלמות, ... 1931 שבמערכות לוגיות שהן חזקות מספיק (כאלו שכוללות את האריתמטיקה בתוכן, כמו המערכת שהציע ברטראנד ראסל בפרינקיפיה מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. חוק זה נקרא משפט אי השלמות של גדל. תחשיב הפסוקים תחשיב ... עבור כל אחד מחמשת הקשרים היא מכילה כלל הכנסה (Introduction) וכלל הוצאה (Elimination). מערכת זו היא נאותה (כלומר, כל נוסחה שניתנת להוכחה, היא אמיתית) ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת). תחשיב הפרדיקטים תחשיב פרדיקטים מסדר ראשון הוא מערכת אקסיומטית המאפשרת לטפל בפסוקים ... וכן קבועים לוגים (הקשרים והכמתים) וסימני פיסוק (סוגריים). לעתים כוללים את יחס הזהות בסימני התחשיב וכך נעשה להלן. את הנוסחאות הבנויות היטב של התחשיב ניתן להגדיר באינדוקציה עפ חמשת הכללים התחביריים (סינטקטיים) הבאים: 1.אם P הוא פרדיקט המקבל n ארגומנטים, (P(t1... tn היא נוסחה בנויה היטב 2.אם t1 ו - t2 הם שמות או משתנים, אז t1 = t2 היא נוסחה בנויה היטב 3.אם נוסחה בנויה היטב, אזי \ neg היא נוסחה בנויה היטב 4.אם ו - נוסחאות בנויות היטב, אז לכל קשר \ Omega כך ש \ Omega \in \{ \ to,\ land,\ vee,\ leftrightarrow \}, הרי ש ( \ Omega) היא נוסחה בנויה היטב (דהיינו עבור כל שני פסוקים אטומים, הצבתו של אחד מן הקשרים הבינריים ביניהם יוצרת נוסחה בנויה היטב). 5.אם היא נוסחה ו - x הוא משתנה, \ forall x ו - \ exists x הם נוסחאות בנויות היטב תפקידם של הסוגריים למנוע דו - משמעות בקריאה של המשפטים. עם זאת מקובל להשמיט את הסוגריים החיצוניים ביותר. כאשר בנוסחה כל המשתנים הם קשורים, דהיינו כאשר כל משתנה מצוי בטווח של כמת מתאים, הנוסחה נחשבת כפסוק (או טענה). או אז ניתן ליחס לה ערך אמת, בתלות בפירוש שהסמנטיקה נותנת לפרדיקטים ולתחום האובייקטים (ר ... אפשרית אחרת), ולפיכך היא אינה מאפשרת הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה של תורת הקבוצות נדחית אף היא. הלוגיקה האינטואיציוניסטית נוסחה באופן פורמאלי על ידי ארנד הייטינג וארט בישופ, וקיבלה את התורה הסמנטית שלה מאת סול קריפקה. לוגיקה עמומה לוגיקה ...

... למשל: אם אין A שהם B וכמה C הם A, אזי כמה C אינם B. כך אפשר לבטא לוגיקה בנוסחאות המזכירות נוסחאות אלגבראיות. בלוגיקה המודרנית יותר נקבעו סימנים שונים במקום חלקי הטיעון השונים וכך צומצמה עוד יותר צורת הטיעון, למשל: < ... p או שניהם אז... . במקרים אלו אנו יכולים להציב משפטי הנחות כרצונינו מבלי לשנות את תקפות הטיעון. קייות נוסחאות וטבלאות אמת שבעזרתם נוכל לבדוק את תקפותם של טיעונים שונים. בתחום האינדוקציה הלוגיקה עוסקת בחקירת אמות מידה ביקורתיות הנחוצות ...

... השדה. ונשאלת השאלה, מהי הדרך לדעת באיזה יום כיסה הצמח רק חצי משטח השדה? אז כמובן, שמיד רצות לאדם נוסחאות משיעורי המתמטיקה בראש, אולי צריך להשתמש בנוסחת העצרת ואולי בנוסחת החזקה ואולי בשילוב של כמה נוסחאות ביחד - נכון?! אבל אם נשאל ילד בבית הספר שעוד לא למד את כל הנוסחאות האלו את השאלה הזאת, התשובה שלו תהיה די מהירה. ביום האחד לפני אחרון הצמח כיסה חצי משטח השדה. ולמה? ... יותר עם השאלה הזאת. ולמה? כי האדם חושב בצורה מקובעת, הוא בטוח שהשאלה מסובכת, הוא בטוח שהפיתרון טמון באיזו נוסחה מורכבת, ואז כמובן הוא לא רואה את התשובה הפשוטה ביותר. וזה מה שנקרא קיבעון מחשבתי שמונע מהאדם לא רק ...

... בחיבורו Ge Zhi Yu Lun (כתבים נוספים, המבוססים על מחקרים ועל תשאול): למיטב הבנתי, בכל הקשור ליישום הציאן גין (נוסחאות כמוהן כאלף פיסות זהב) של סון סי - מיאו לגבי מבוגרים, אשר איבדו את הדחף המיני שלהם, ושנוזלי גופם ...

... זמן ומאמץ אני מתחיל להבין למה ויניקוט חותר. אך ככל שהזמן עובר אני מכיר בכך שהמלים של ויניקוט מציעות נוסחאות, שאינן מתנסחות, שכמעט מנסחות, אך לא לגמרי מזכיר במידת מה את ההתייחסות ללשונו של לאקאן. מרגרט ליטל שכתבה על ...

... לאורך כל הטקסטים, אלו בדרך כלל תיאורים בעניין הלימוד אשר חוזרים בנוסח מדוייק. כאשר משבחים את הבודהה קיימים מספר נוסחאות לתיאור סגולותיו שהידועה ביניהם היא: כך הוא הנעלה - ראוי להערכה, מואר בשלמות בזכות עצמו, בעל הבנה ומוסר, הנעלה ...

... אומר שהוא בעצם מנסה לשכנע אותך לשכנע אותו שאף על פי הטענות שלו, המוצר אכן משתלם לו... אם היו נוסחאות מוחלטות איך להצליח בעולם היחסי, המשחק היה מתבטל, בגלל שהעולם רחוקים מהמהות מתאפשר המשחק... כשלקוח אומר לך שהמוצר יקר ...

... הבנה ללא מאמץ הבנה שמגיעה אליו בהפתעה בלי שהתאמץ להגיע להבנה זו. לדעת יודף אלף יש אינסוף אופציות לגלות נוסחאות חדשות מתמטיות ואת זה אפילו גיליתי דרך מישהו שידע לומר לי בשיחת טלפון מרחק בין כוכב לכוכב. מה? הוא ...

... הוא בעצם מגלה את המציאות? האם יתכן שקיימת אופציה למחקר תופעות הטבע בצורה אחרת מזו של התבוננות וניסיונות לייצר נוסחאות שמסבירות את מה שרואים? האם קיימת אופציה למקר אינטואיטיבי ודמיוני יותר, כזה שמגיע מאזורים אחרים של המוח, אך כזה ...

... לא קלה. נאסף חומר מגוון, יש השוגים כאן ויש השוגים שם. כל אחד ונקודת התורפה שלו. לא נכתבו כאן נוסחאות שונות בתפילה, לא נקבע כאן נוסח של מי מדויק יותר. עם ישראל בשלמותו זקוק לכל מגוון הנוסחאות, וחלילה לעדה לבטל נוסח קבוע מדורות דורות... לא הכרעתי האם לברך: ... להתעטף בציצית או להתעטף בציצית, ולא הכרעתי ...