לוגיקה - מבוא... בטווח שלו אינו מציין קבוצה ריקה. אריסטו גם אינו מכיר באופיים הייחודי של יחסים, דהיינו של פרדיקטים המקשרים שני אובייקטים. לפיכך, לא ניתן להביע באמצעות הלוגיקה האריסטוטלית את הקשרים הלוגיים שבין הטענות הבאות: 1.יוני הוא אביו של רוני 2.רוני ... שלושה חלקים: שני מונחים והאוגד המחבר ביניהם, בתחשיב הפרדיקטים של הלוגיקה החדשה הטענה האטומית היא בעלת שני חלקים בלבד: האובייקט והפרדיקט המושת עליו. בנוסף, הלוגיקה החדשה אינה תופסת את הכמת הלוגי כמאפיין את הטענה כולה או את האוגד, אלא ... היא פתרונן. במקביל, מתמטיקאים ופילוסופים כמו ברנרד בולצאנו ואלקסיוס מיינונג חקרו את מושג הטענה ואת האופן בו תפיסותינו של האובייקטיביות של הלוגיקה והמתמטיקה מחייבות אותנו לקיומן האידאלי של טענות. התפתחויות אלו עומדות בבסיס עבודתו של גוטלוב פרגה, שאף שעיקר ... ב, או כל א הוא ב), בתחשיב הפרדיקטים של הלוגיקה החדשה הטענה האטומית היא בעלת שני חלקים בלבד, פרדיקט ואובייקט, החוברים זה לזה כפי שפונקציה חלה על משתנים. שיטת התיווי הלוגי של פרגה לא התקבלה, גם כאשר רעיונותיו נתקבלו ... ניתן להצרין בעקבות פרגה כך: Fa כאשר F מציין את הפרדיקט חכם, ו - a מציין את שמו של האובייקט, דני. שיטתו של פרגה מאפשרת גם להביע יחסים בין שני אובייקטים או יותר באמצעות פרדיקטים דו מקומיים, המקבלים שני אובייקטים. למשל כדי לומר שדני (a) הוא חבר של רני (b), תוך ציון יחס החברות באמצעות האות R, נקבל את ... הרעיונות הלוגיים היסודיים. הוא סבר כי חוקי הלוגיקה אינם רק חוקי המחשבה, אלא חוקי האמת, ושיש לתכנים לוגיים קיום אובייקטיבי, ולא סובייקטיבי ותלוי במבנה האמפירי של המוח האנושי. מבחינה זו, פרגה היה ריאליסט בנוגע לישויות אידאליות, כולל הישויות המתמטיות ... את ההבחנה בין מושג לבין מושא. על פי פרגה, מושגים הם פונקציות, המקבלות את משמעותם רק כאשר ניתן להן אובייקט כערך שלהן. כשלעצמו, המושג הוא בלתי רווי (unsaturated), ורק כשהוא מתחבר לשם או לשם של משתנה, הוא מקבל משמעות. ... בעיית אחדות הטענה שהטרידה אחר כך את ראסל, ומציע, באופן מובלע, תורת טיפוסים פרימיטיבית: מושגים (מסדר ראשון) חלים על אובייקטים בלבד, משום שרק באמצעותם הם נהיים רוויים במשמעות. אולם מכאן עולות גם כמה מסקנות פרדוקסליות. מכיוון שרק בצירוף לשם ... יכול להופיע כנושא במשפט. מכאן יוצא, כי אין אפשרות לומר המושג סוס הוא מושג, משום שכאן המושג סוס מופיע כאובייקט, ולא כמושג. פרגה נאלץ לפיכך לטעון: המושג סוס אינו מושג, ומכאן נובע (אם כי פרגה אינו אומר זאת מפורשות): ... פרגה אינו מוכן לקבל שלפרדיקט יש משמעות במנותק מן המסגרת הטענתית בה הוא מופיע, ובה הוא רווי בזכות קישורו לאובייקט. לאור התנגדותו לפסיכולוגיזם, פרגה שולל את ההתייחסות אל המושג כאובייקט וסבור שהתייחסות כזו נובעת מתפיסת המושג כתוכן מנטלי אינרטי, ולא כפונקציה. עם זאת יש לפרגה דרכים לטפל במושגים במסגרת ... מסדר שני. דרך אחת היא על ידי ציון האקסטנציה של המושגים (ranges of values או Wertverlufe), דהיינו הקבוצה של האובייקטים שעבורם המושג מעניק ערך אמיתי. קבוצה זו נתפשת כמושא, והיא יכולה להופיע, למשל, בטענות שוויון מספרי. טענות כגון אלו, ... להראות שהאקסיומות של פרגה, ובמיוחד אקסיומה מספר חמש, מובילות אליו (מן האקסיומה החמישית נובע כי עבור כל מושג, יש אובייקט המהווה את האקסטנציה של מושג). הוא כתב על כך לפרגה, שהוסיף נספח לכרך השני של הספר בו הוא מודה ... להלן). בשפות לוגיות מורכבות יותר, דוגמת תחשיב הפרדיקטים, הסמנטיקה קובעת מהי קבוצת האיברים של תחום הדיון, מהן הקבוצות של האובייקטים המשויכים לכל פרדיקט (דהיינו, לאילו אובייקטים יש את התכונה שהפרדיקט מייצג), וכן את הפירוש של הקשרים הלוגיים. כל פירוש סמנטי של מערכת כזו הוא מודל, ... יש להן ערכי אמת, דהיינו הוא אינו בוחן את הצורה הפנימית של הטענות, ואת הקשרים שהן מציגות, למשל, בין אובייקטים (בתחשיב הפרדיקטים, הנידון להלן, יש ניתוח של מבנה עומק זה). הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים מורה לנו כיצד עלינו להבין ... הפרדיקטים תחשיב פרדיקטים מסדר ראשון הוא מערכת אקסיומטית המאפשרת לטפל בפסוקים שהמבנה הבסיסי שלהן כולל נשואים (פרדיקטים) החלים על אובייקטים, או על משתנים שערכיהם הם אובייקטים. הפרדיקטים עצמם הם פונקציות המחזירות ערך אמת (אמיתי או שקרי) עבור אובייקטים מסוימים או עבור משתנים מסוימים. בתחשיב פרדיקטים מסדר גבוה יותר, פרדיקטים יכולים לחול על פרדיקטים אחרים וכמתים יכולים לחול ... land,\ vee,\ leftrightarrow. בנוסף מופיעים בתחשיב שני כמתים, \ exists הוא הכמת הישי, המביע שפרדיקט מסוים מחזיר אמת עבור אובייקט אחד לפחות מתוך התחום. \ forall הוא הכמת הכולי או האוניברסלי, המציין כי עבור כל אובייקט בתחום, פרדיקט מסוים מחזיר ערך אמת. הסמלים של תחשיב הפרדיקטים מציינים משתנים (מצוינים באותיות x,y,z עם או בלי אינדקס ... מתאים, הנוסחה נחשבת כפסוק (או טענה). או אז ניתן ליחס לה ערך אמת, בתלות בפירוש שהסמנטיקה נותנת לפרדיקטים ולתחום האובייקטים (ר להלן). בתחשיב הפרדיקטים הפסוק היסודי (או הפסוק האטומי) הוא בעל שני חלקים בלבד, פרדיקט ואובייקט, החוברים זה לזה כפי שפונקציה חלה על משתנים. דוגמאות לפסוקים כאלו ניתנות לעיל, בסעיף הלוגיקה של פרגה. כוחו של ... והפרדיקטים) וקובע את תחום - הדיון אשר על פיו נקבע הטווח של הכמתים. לדוגמה: תחום הדיון D הוא קבוצת האובייקטים {דני, רני, יוני} השמות: a ו - b מייצגים את דני ורני בהתאמההפרדיקטים: הפרדיקט החד - מקומי חכם מצוין על ידי P, ומקבל ערך אמת עבור האובייקטים {דני, רני} הפרדיקט הדו - מקומי חבר של מצוין על ידי R והקבוצה של האובייקטים המשויכת אליו היא הקבוצה המכילה את הזוג {}. לא כל אובייקט בתחום דורש שיינתן לו שם. אולם צריך להיות ברור מן הסמנטיקה, עבור כל אובייקט וכל פרדיקט בתחום, האם הפרדיקט חל עליו או לא. כעת ניתן להעריך את ערך האמת של הפסוקים הבאים בפירוש ... neg \exists x Rxa או הפסוק השקול: \ forall x \neg Rxa - מכיוון שבתחום הדיון שלנו אין אף אובייקט x כך שבזוג יחד עם דני (a) הפרדיקט R מחזיר אמת, הפסוק אמיתי. \ forall x (Px \to \exists y Py) - מכיוון שבתחום הדיון שלנו, עבור כל x ש - P חל עליו ניתן למצוא אובייקט y ש - P חל עליו, הפסוק אמיתי. ענפי משנה נוספים של הלוגיקה בת ימינו לוגיקה מודלית לוגיקה מודלית ...