תקציר⬅ ... מתמטיקה למתחילים - חיבור וחיסור + טיפים לביצוע פעולות חיבור וחיסור במתמטיקה, לימוד חשבון איך לחשב חיבור של 2 מספרים בודדים - פשוט מתרגלים וזוכרים את התוצאה... טיפ: אם מחברים 2 מספרים שאחד מהם הוא 7 ומעלה והשני הוא 4 ומעלה, אז מחשבים זאת כך. שלב 1 - ניקח את המספר הגדול ונראה כמה צריך להשלים כדי להגיע ל 10. לדוגמא: 10-7=3 10-8=2 10-9=1 שלב 2 - ניקח את המספר השני הקטן יותר, ונפחית ממנו את כמה ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... של המתמטיקה - מבוא הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה העוסק בהנחות היסוד של המתמטיקה ובמשמעותה של המתמטיקה. הפילוסופיה של המתמטיקה מנסה לתת תשובות לשאלות כגון: "האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה?" "מדוע המתמטיקה שימושית בתיאור היקום?" "באיזה מובן, אם בכלל, ישויות בסיסיות של המתמטיקה, כמו מספרים, קיימות?" "האם משפטים מתמטיים נכונים ובאיזה אופן?" תוכן עניינים: 1 היחס לפילוסופיה הכללית 2 התפתחות המתמטיקה: תגלית או המצאה? 3 מדוע המתמטיקה עובדת? 4 יסודות המתמטיקה ומקור הוודאות שלה 4.1 ריאליזם מתמטי, או פלאטוניזם 4.2 פורמאליזם 4.3 לוגיציזם 4.4 קונסטרוקטיביזם ואינטואיציוניזם 4.5 תאוריות השכל המוגשם 4.6 קונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי 5 מעבר ל"אסכולות" 5.1 מעין - אמפיריציזם 5.2 פעולה ומעשה 5.3 איחוד 5.4 אתיקה 5.5 אסתטיקה 5.6 שפה היחס לפילוסופיה הכללית: כמה פילוסופים של המתמטיקה רואים את תפקידם כתיאור של המצב של המתמטיקה כפי שהיא, כפירוש ולא כביקורת. אך לביקורת יכולה להיות השפעה ממשית על המחקר המתמטי, ולפיכך הפילוסופיה של המתמטיקה יכולה להיות משמעותית ביותר עבור מתמטיקאים בפועל, במיוחד בתחומים חדשים שבהם עדיין אין בדיקה טובה של ההוכחות המתמטיות על ידי חוקרים רבים, ולכן ייתכן כי ימצאו טעויות. ניתן למצוא טעויות כאלה רק אם יודעים היכן לחפש אותן, ואיפה הגיוני שיעלו. נושא זה הוא אחד מהתפקידים החשובים של הפילוסופיה של המתמטיקה. בעשורים האחרונים, יש שניסו לקשר בין המתמטיקה לבין עניינים פילוסופיים אחרים, כגון אפיסטמולוגיה ואתיקה. עניינים אלה נדונים בסוף הערך. התפתחות המתמטיקה: תגלית או המצאה? : השאלה האם התפתחות המתמטיקה, כפי שהיא מתבטאת בהעלאת השערה חדשה או במציאת הוכחה חדשה, היא בגדר תגלית או בגדר המצאה, העסיקה את המתמטיקאים בסוף המאה ה - 19 ותחילת המאה ה - 20, אם כי שורשיה מגיעים עד לאריסטו ואפלטון. מצד אחד מתקיימת הגישה לפיה כל העצמים המתמטיים (משפטים, הוכחות וכדומה), אלה הידועים לנו וגם אלה שאינם ידועים לנו, קיימים ב"חלל וירטואלי" כלשהו, וכל שנותר הוא לגלות אותם. בהתאם לגישה זו, ניסוח משפט חדש הוא בגדר תגלית, וכך גם ביחס להוכחתו. בהתאם לכך, התפתחותה של המתמטיקה אינה אלא התפתחות הידע האנושי אודות המתמטיקה. עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים קנטור והארדי, והלוגיקן קורט גדל. ז'אק האדאמר, מחשובי המתמטיקאים בצרפת, אמר: "אף שהאמת עדיין אינה ידועה לנו, היא קיימת מלכתחילה, וכופה עלינו את הדרך שעלינו ללכת בה". גישה זו ידועה בשם פלאטוניזם, על שם "ספירת האידאות" של אפלטון. רבים מתקוממים נגד גישה זו, משום שברור שלא דומה "גילוי" ההוכחה למשפט האחרון ... למשפט האחרון של פרמה כרוכה בעבודת יצירה רבה מאוד, ולטעון שהיא הייתה קיימת ורק היה צריך לגלות אותה אינו רחוק מלטעון ששיר חדש אינו יצירה של המשורר אלא גילוי של השיר ב"ים כל המחרוזות המילוליות". בהתאם לגישה זו, המתמטיקה כולה היא יצירה של המוח האנושי, ואינה קיימת בלעדיו. ביטוי נחרץ לגישה זו נתן המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר, באומרו: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם". עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים גם ריכארד דדקינד וקארל ויירשטראס. גם הפילוסוף לודוויג ויטגנשטיין החזיק בדעה שהמתמטיקאי הוא ממציא, ולא מגלה. מדוע המתמטיקה עובדת? : משולש על משטח בגאומטריה היפרבולית. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית העקבית במאה ה - 19 הדגיש את חשיבותו של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית. בפילוסופיה של המתמטיקה יש כמה אסכולות, שמתמקדות בשאלות מטאפיזיות, כלומר: "מדוע המתמטיקה פועלת?", ובשאלה קשורה אך שונה מבחינה לוגית, "מדוע המתמטיקה מסבירה בצורה כל כך טובה את העולם הפיזי כפי שאנו רואים אותו?" התשובה לשאלה זו אינה מובנת מאליה. בעקבות עבודתו של דוויד הילברט, נהוג היום לראות את המתמטיקה כתורה המטפלת במודלים אקסיומטיים, שבהם האקסיומות נבחרות באופן שרירותי, בלי קשר למציאות, רק בתנאי שיהיו עקביות. גישה זו זכתה לחיזוק בעקבות גילויה / המצאתה של גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים שונה מזו של הגאומטריה האוקלידית. שתי הגאומטריות הללו תקפות מתמטית בדיוק באותה מידה, אולם סביר שרק אחת מהן מתארת את המציאות. ובכל זאת - כאשר נותנים ... שאנו עושים בהוספת והחסרת דברים, ובהסתמכות של כל תאוריה פיזיקלית כיום על משוואות מתמטיות שמתארות את האינטראקציות והקינמטיקה (תנועה) של הגופים. היטיב לבטא בעיה זו הפיזיקאי אלברט איינשטיין שתהה "כיצד ייתכן שהמתמטיקה, שאיננה אלא פרי מחשבת האדם, ללא תלות בניסיון ובהסתכלות, מסתגלת כל כך יפה למציאות?" תשובתו הייתה: "במידה שחוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ובמידה שהם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות". פתרון חלקי לבעיה זו הציג הפילוסוף עמנואל קאנט. על פי קאנט טענות המתמטיקה הם "סינתטי א - פריורי", כלומר: טענות אינפורמטיביות שאינן תלויות בניסיון (ואף קודמות לכל ניסיון). טענות אלה אינן מוסרות מידע לגבי העולם כשלעצמו, אבל הן כן מוסרות מידע על העולם כפי שהוא נתפש בניסיוננו, כלומר - העולם דרך משקפי "התבונה הטהורה". המתמטיקה איננה חוקי העולם אלא חוקי ההיגיון או חוקי התבונה שדרכם תופש המוח האנושי את העולם הסובב אותנו ומארגן את צבר התחושות שהוא קולט לכלל ניסיון או מציאות עקביים. יסודות ה ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... התשע עשרה, התפתחות הלוגיקה הייתה תלויה במידה רבה בעניין שגילו בה מתמטיקאים, אשר ביקשו להבין את אופין של טענות מתימטיות (למשל משוואות, שצורתן אינה כזו של נושא - נשוא) ואת אופיו של הטיעון המתימטי, דהיינו ההוכחה. במקביל לחקירת המאפיינים הלוגים של המתמטיקה, הוחל לעשות שימוש במתודות מתמטיות בלוגיקה, וההפריה ההדדית בין שני המדעים גברה. מתמטיקאים ופילוסופים כמו ג'ורג' בול, אוגוסטוס דה מורגן, ויליאם סטנלי ג'בונס, צ'ארלס פירס, וארנסט שרדר, הניחו במחקריהם את ... מונחי יסוד של תורת הקבוצות במסגרת הדיון בלוגיקה, ובאמצעותם ייצגו הסקים אריסטוטלים כמשוואות שהמסקנה היא פתרונן. במקביל, מתמטיקאים ופילוסופים כמו ברנרד בולצאנו ואלקסיוס מיינונג חקרו את מושג הטענה ואת האופן בו תפיסותינו של האובייקטיביות של הלוגיקה והמתמטיקה מחייבות אותנו לקיומן האידאלי של טענות. התפתחויות אלו עומדות בבסיס עבודתו של גוטלוב פרגה, שאף שעיקר הישגיו בלוגיקה הושגו במאה התשע - עשרה, הם לא נודעו כמעט עד תחילת המאה העשרים. הלוגיקה של פרגה גוטלוב פרגה ... דני. שיטתו של פרגה מאפשרת גם להביע יחסים בין שני אובייקטים או יותר באמצעות פרדיקטים דו מקומיים, המקבלים שני אובייקטים. למשל כדי לומר שדני (a) הוא חבר של רני (b), תוך ציון יחס החברות באמצעות האות R, נקבל את הנוסחה הבאה: Rab פרגה תרם תרומה הכרחית למתמטיקה וללוגיקה באמצעות המצאת תורת הכימות (קוונטיפיקציה). הלוגיקה החדשה אינה תופסת את הכמת הלוגי כאפיון של הטענה כולה או של האוגד שלה, אלא כפונקציה מסדר גבוה יותר החלה על הפרדיקט ועל המשתנה שלו. למשל, כך מביע פרגה ... יכולה להופיע, למשל, בטענות שוויון מספרי. טענות כגון אלו, המכריזות על שוויון מספרי בין האקסטנציות של מושגים שונים הן מהותיות עבור ההגדרה הלוגית של מושג המספר שפרגה הוא מקורה. פרגה היה התומך המשמעותי הראשון של לוגיציזם - העמדה לפיה ניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה. פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שאותן תפס פרגה כלוגיות במובהק. לאחר שפורסם הכרך הראשון של ספרו השלישי, "חוקי היסוד של האריתמטיקה", ברטראנד ... טרסקי, קורט גדל, אלן טיורינג, ואחרים. במרבית המקרים הייתה עבודתם רלוונטית הן לפילוסופים והן למתמטיקאים, שכן היא עסקה ביסודות המשותפים לכל שפה ולכל מערכת לוגית באשר היא. למעשה, התנועה המובילה בלוגיקה בתחילת המאה העשרים, הלוגיציזם, ביקשה להראות כי המתמטיקה מבוססת על הלוגיקה. ראסל, למשל, סבר כי בעיות היסוד של המתמטיקה אינן מעניינו של המתמטיקאי, אלא של הפילוסוף והלוגיקאי. הלוגיקה המודרנית היא לוגיקה סימבולית, דהיינו היא בוחנת צורות מופשטות המיוצגות באמצעות סמלים, שניתן להבין אותן כמייצגות את הצורות של הטענות וההיסקים שאנו ... כל תיאורמה היא טאוטולוגיה. ניתן לראות כי התכונות נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה. קורט גדל הוכיח ב - 1931 שבמערכות לוגיות שהן חזקות מספיק (כאלו שכוללות את האריתמטיקה בתוכן, כמו המערכת שהציע ברטראנד ראסל בפרינקיפיה מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. חוק זה נקרא משפט אי השלמות של גדל. תחשיב הפסוקים תחשיב הפסוקים מאפשר לייצג את הקשרים בין ערכי האמת של טענות (פסוקים) שונות. תחשיב הפסוקים אינו מתחשב ... או על משתנים שערכיהם הם אובייקטים. הפרדיקטים עצמם הם פונקציות המחזירות ערך אמת (אמיתי או שקרי) עבור אובייקטים מסוימים או עבור משתנים מסוימים. בתחשיב פרדיקטים מסדר גבוה יותר, פרדיקטים יכולים לחול על פרדיקטים אחרים וכמתים יכולים לחול על פרדיקטים. במתמטיקה תחשיב הפרדיקטים מופיע כשפה מסדר ראשון או כשפה מסדר שני. תחביר של תחשיב הפרדיקטים גם בתחשיב הפרדיקטים נעשה שימוש בכל הקשרים הלוגיים הסטנדרטיים המוכרים מתחשיב הפסוקים (או בחלק מהם, ובלבד שתיווצר קבוצה שלמה של ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... ההשקעה יכלה להיות יותר גדולה ממה שהיא עכשיו? ואיך זה שאנשים משקיעים לפעמים הרבה, ודווקא כשהם משקיעים הרבה, הם פחות מצליחים מכך שיש פעמים שהם משקיעים פחות ומצליחים יותר? על כל זאת ועוד אענה בפסקאות הבאות. הידע המעשי במתמטיקה למשל, מפתח את החלק המתמטי של האדם וחושף אותו לרמות הבנה חדשות וגבוהות יותר. כמו כן, המיומנות בשפה האנגלית חושפת את האדם לרמות חדשות שלא יכל ללמוד קודם. כל לימוד מפתח מיומנות אצל האדם. ולפעמים האדם חושב, מה כבר אפשר לחדש בנושא מסויים? אולי הידע יספיק וכבר אין צורך גדול בפרקטיקה? אז לכן, מתמטיקה ואנגלית יוכיחו שכן יש צורך בפרקטיקה מעשית. הידע המעשי הוא בעל ערך נכבד. הוא הופך את הידע התיאורטי לידע מעשי ויישומי הוא הופך אותו מסתם ידע תיאורטי שלא מוביל לכלום, למיומנות וע"י כך מעמיק את אותן ההבנות והופך את הידע למובן יותר, האדם ... להבין את אותו הידע הרבה יותר טוב. והרי המטרה היא להבין את הדברים כפי שהם במציאות, להבין את המציאות הרבה יותר טוב. בעצם, יש כאן מחקר אותו הידע, וזה דבר מרתק, לחקור נושא ולהעמיק ולהבין אותו הכי טוב שיכולים. הידע במתמטיקה הופך להיות הבנה גדולה במחשבים. ידע מעשי הוא המפתח להבנת התחום במציאות, להבין את הנושא במציאות פירושו להבין את הדברים באמת. והרי המטרה היא להבין את הדברים באמת, ולכן, הידע המעשי הוא הידע המשלים, והוא פעולת הבדיקה ע"מ לוודא את הידע. וזו ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... הוא הגיע! ומדוע אני מקשר בין הקו "לדרך" שעבר אותה האדם? כי עובדה היא שאני זה ששמתי לב לזה, אני האדם. עובדה היא ששמתי לב לזה עכשיו ולא אתמול. לדברי קשר מובן לפילוסופיה: לא על שום מה הפילוסופיה לא נמצאת בתחום המדע המדוייק, כמו הפיזיקה הכימיה המתמטיקה.. אולם, כאשר הפילוסופיה "נפגשת" עם המדע המדוייק, אזי יש לנו "קייס" מעניין ובלתי צפוי.. ראיתי את "הפגישה" הזו לנגד עיני כאן בנושא שהבאתי לפניכם ולעיונכם. כאשר התעסקתי במחשבה אודות "הגדרת תחום השיפוט" של אלוהים והעליתי את הגדרות הללו על דף, הרגשתי שאני מתעסק בשאלה שאין תשובה לה! הרגשתי, ובצדק, שאני שם "פח" לאלוהים בכבודו ובעצמו, ואני אתאר בפניכם שוב את השאלה שהפניתי ישירות אל אלוהים, דרך מחשבה ישירה גם דרך דף מנייר, וכך ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... של פסקל - מבוא ההימור של פסקל (במקור נקרא הימור הפתאים של פסקל) הוא ניסוי מחשבה אשר הגה המתמטיקאי בלז פסקל להוכחת כדאיות האמונה באל (תאיזם). אחת מתרומותיו החשובות של פסקל למתמטיקה הייתה הנחת יסודות לתורת ההסתברות. דרך מחשבה זו מתבטאת בניסוי המחשבה אשר בוחן את שאלה האמונה כהימור. פסקל מציע ניתוח סיכון - תועלת להסתברות קיומו של האל לעומת אי קיומו ביחס לתגמול או לעונש. ניסוי המחשבה מיועד לחזק את המאמין בטיעון רציונלי ולא כנגד האתאיזם כפי שלעתים נתפס. פסקל מניח כי קיים סיכוי חיובי (גדול מאפס) לכך שהאל קיים. אם האל אכן קיים והאדם מאמין בו, הרי שיזכה לעושר נצחי בגן עדן. בעוד ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... אפשר להתחזק בכל הנושאים הנתונים שהאדם רוצה להתחזק בהם, דרך נושא מגשר בין כל הנושאים האלה ומחזק את כולם. אצלי לדוגמא, זוהי קריאת המאמרים. כאשר אני קורא את המאמרים ומחזק את הנפש בנקודה הכי פנימית, אז קל יותר גם בשאר הנושאים שאני רוצה לשפר אותם. ואם מתעמקים יותר, המאמרים הם מתמטיקה נפשית - הם מפתחים את הנפש והשכל, מעין חלון לעולם המתמטיקה ולכן, הם חשובים יותר מכל דבר אחר בעולם כולל המתמטיקה כי הם קשורים לנפש, מחסנים אותה, נותנים חוסן נפשי, וכן, לאושר האמיתי הפנימי הנמצא בתוך הנקודה הכי פנימית בנפש. וגם כאן יכולה להתעורר שאלה, איך אפשר למצא את המאמרים עד תום? וחלק כבר עניתי בכותרת הנושא, אבל אחדד ואוסיף כי לקיחת נושא אחד והתעמקות בו עד הסוף ובכל הכוח, משפרת את המיומנות של האדם להצליח בתחומים נוספים ו"מקרינה" עליהם מבחוץ ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... כאל צופים בעולם מאשר כשותפים בו. קשרים ומערכות יחסים עם אחרים: אנשים הסובלים מהפרעת אישיות סכיזואידית נראים מרוחקים, מסוגרים, מסויגים, קרים ואדישים, ולעתים מתקבל אף רושם של התנשאות וזלזול, היבטים הגורמים להם לבעיות חברתיות. יחד עם זאת, אחדים מהם עשויים להצליח מאוד בתחומים כגון מתמטיקה, פיזיקה, פילוסופיה, שחמט וכיוצא בזה, בשל אינטליגנציה גבוהה וחשיבה מרוכזת, תאורטית ומופשטת. לרובם יש קושי לבנות מערכות יחסים אישיות או לבטא את רגשותיהם באופן מלא, והם עשויים לעתים להישאר פאסיביים אל מול סיטואציות עוינות. התקשורת שלהם עם אנשים אחרים לעתים יכולה להיות שוות נפש, תמציתית ותכליתית. בשל בעיות התקשורת הללו הם אינם יכולים לקבל משוב על עצמם ועל איך הם מסתדרים עם אחרים - משוב החשוב להגברת מודעותם לעצמם ולפעולותיהם בסביבה חברתית. על פי ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... להתמודד עם בעיות ממש גדולות בצורה הכי טובה? הדרך הטובה ביותר להתמודד עם בעיה גדולה, היא על ידי פירוק שלה לבעיות קטנות יותר. הרבה יותר קל לפתור בעיות קטנות מאשר גדולות. כאשר עליך לפתור בעיה קטנה, קל לך למצוא הרבה יותר בקלות את הפתרון. במתמטיקה לדוגמא, התרגיל המסובך והמורכב ביותר שקיים במתמטיקה, ניתן לפתור אותו (עד כמה שאפשרי) ע"י פירוק שלו לגורמים ופתירתם כל אחד בצורה נפרדת. בנוסף, חלק מהיכולת שלך לפתור בעיה, נובע מהאמונה שלך ביכולתך לפתור אותה. בעיה קטנה, קל לך להאמין יותר ביכולת שלך לפתור אותה מאשר בעיה גדולה. בנוסף, בעיות קטנות קל לך יותר ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...

תקציר⬅ ... שלהם! די לספור את האלקטרונים בקליפה החיצונית של האטום של יסוד כלשהו כדי לגזור מהם את כל תכונותיו הכימיות. כך נעשתה כל הכימיה ענף של הפיסיקה. לכאורה, הכל הסתדר יפה בתשבץ, אבל כמו במתמטיקה, תמיד מופיע עוד נודניק המערער את אחד היסודות בבניין החדש. התגלה שגם חלקיקים כמו פרוטונים אינם חלקיקי - יסוד אלא מורכבים מחלקיקים עוד יותר קטנים, והחיפוש אחר תורה חדשה יצא לדרך. שוב סידרו הפיסיקאים את החלקיקים, הפעם במשוואות, ושוב התגלה כי למשוואות יש פתרונות לא - מוכרים. הלכו ... של המתמטיקאים והפיסיקאים כוללת הרבה אפלטוניסטים מוצהרים וחבויים. עוד אחד ממייסדי תורת הקוונטים, יוג'ין ויגנר (1902 - 1995, נובל 1963), כתב בהתפעמות על "יעילותה הבלתי - הגיונית של המתמטיקה במדעי הטבע. " בעיניו, קיומם של חוקי טבע היה בעצמו דבר לא טבעי, ועוד פחות מזה שהאדם מסוגל לגלותם. "נס התאמתה של שפת המתמטיקה לניסוח חוקי הפיסיקה, " התפייט ויגנר בנימה דתית, "הוא מתנה מופלאה שאיננו מבינים אותה וגם איננו ראויים לה. " מי שהסיקה מסקנות אישיות מהמאמר של ויגנר הייתה אחותו: היא התחתנה עם דיראק. שלושת הפרקים הראשונים הללו היו מעין מבוא להצגת עיקרי החשיבה המדעית. הנה, לסיום, ניסיון שלי לתת ... ⬅לקריאת המשך המאמר על מתמטיקה - לחץ כאן...