... אותו בהנאה גלויה על טעותו. ראינו את הפיסיקה מאמצת את העוצמה של שפת המתמטיקה. משפט מתמטי, כמו a2 + b2=c2 של פיתגורס, נכון לגבי כל המשולשים - גדולים, קטנים, ירוקים או עשויים משוקולד. הדיוק של התוצאה הסופית תלוי ...

... המשחק לפי כללי המשחק כי הם מפיקים את ההנאה המירבית אבל מכאן ההגדרות מסתיימות, ונשאר רק להינות מהטוב האמיתי של המשחק ולזרום עם הדברים לא להתקע וליסוע הלאה. המסע זו ההנאה עצמה. וכמו במתמטיקה, כאשר יש מערכת אילוצים בתור משוואות, ...

... לשאלה למה אני רוצה להרגיש טוב, אחר כך למה אני רוצה להרגיש טוב? כי יש לי רצון, מה זה רצון? זה ביטוי של אני, מה זה אני? זה חלק מהמציאות שאלה: אני זה גם לא אני, אז איך אני ממשיך מכאן? אליעד: מתמטיקה למדת פעם בבית הספר, או גדלת ביער? שאלה: ביער אליעד: גם ביער צריך לדעת מתמטיקה, לדעת כמה חיצים צריך כדי לירות בגדי. יש דבר שנקרא מכנה משותף, נכון? מה המכנה המשותף הרחב ביותר? יש לך פה אני ולא אני, מה המכנה המשותף של ...

... שהנהיג אוקלידס במתמטיקה היא תובענית הרבה יותר מההוכחה המדעית באמצעות ניסוי: שום מתמטיקאי לא יעיז להוכיח טענה כלשהי על סמך בדיקת מיליון ... ביופיין של הפיסיקה והמתמטיקה, בואו ניתן דעתנו על שני מומים המתגלים בשתי הגברות האלה אחרי בדיקה יותר פולשנית. שתיהן מתחרות על כתר "מלכת המדעים. " ... הם ענפי - משנה שלה. המתמטיקה, מצד שני, טוענת שאינה מוגבלת רק למציאות הידועה לנו. כל מציאות שנוכל להעלות בדמיוננו, כל עוד שולטים בה חוקים קבועים, ... ביותר, תוכל המתמטיקה לתאר אותם, ולכן היא יסודית יותר מהפיסיקה. בואו נראה מה נוכל ללמוד מוויכוח זה. הפיסיקה היא מדע ניסיוני, כלומר היא ... ממקרה פרטי על הכלל. המתמטיקה, לעומת זאת, משתמשת בדדוקציה, כלומר הנחת עיקרון ראשוני שממנו נגזרות מסקנות ספציפיות יותר. כמובן, העיקרון הראשוני הזה ... בואו נבנה את כל המתמטיקה כמו שאוקלידס בנה את הגיאומטריה, כלומר נבדוק מה המינימום של הנחות - יסוד שמהן נגזור את כל טענות המתמטיקה (כולל הגיאומטריה, שחזרה עכשיו להיות ענף של המתמטיקה). טובי המוחות של המאות ה - 19 וה - 20 נרתמו למרוץ הזה, וגילו הרבה דברים יפים בדרך. ואז הופיע בחור בן עשרים וחמש בשם ... - להוכחה. 11 המתמטיקה, עם ההיגיון הצרוף והמושלם שלה, תצטרך לחיות עם העובדה שייתכנו בתוך עולמה דברים אמיתיים שלא יהיה בכוחה להוכיחם. באופן ...

... לבין הפירושים הנלווים לו. הפורמליזם הוא אוסף החוקים המנבאים מה יקרה בתנאים נתונים. זהו פורמאליזם מתמטי, עקבי לחלוטין ומדויק מאין כמוהו. הפורמליזם הזה, וכאן לב הבעיה, אינו מתאים למה שאנו רואים בחיי היום - יום. למשל: על פי הפורמליזם יכול חלקיק להימצא ביותר ממקום אחד ...

... ו - ד) בנוסף לכל גם תואם חלקים מהמציאות עוד בטרם התגלו - חוזר בכל תולדות המדע. 3. 2 הרחבת מושג המספר כך החלו ערעורים במתמטיקה גם נגד יסודות תורת פיתגורס. ברור שהרבה מהמתמטיקה של הפיתגוראים הייתה סתם נומרולוגיה: מספרים זוגיים נחשבו "נקביים" ואי - זוגיים "זכריים, " ובהמשך נעשו חלקם "קדושים" ואחרים "טמאים" וכך נפרץ ... שליליים, i -, 2i -, 3i - וכו', כך שהתקבל ציר מספרים שלם המאונך לציר הרגיל. על מערכת - הצירים הדו - ממדית הזאת בנו תחום מתמטי חדש. עכשיו לכו תנסו להבין מהי קלמנטינה מדומה, שהעלאתה בריבוע תיתן קלמנטינה שלילית, שהעלאתה בריבוע תיתן סוף - סוף קלמנטינה שאפשר לאכול. צחוק ... שלושה סטרפטוקוקים, שלושה גניקולוגים ועל כל שאר העצמים - רק הלכה והעמיקה מאז, כי תורת המספרים היא רק הקומה הראשונה בבניין המתמטיקה. אם ה"שלוש" המופשט הוא מושג החל על כל העצמים, בואו נחשוב על מושג מופשט יותר, נאמר x, החל על כל המספרים. אם מעולם לא ראינו את ה"שלוש" עצמו, ... לגבי כל שלושה מספרים שנציב במקום שלושת הנעלמים. הנה חידה אלגברית, פשוטה להפליא ומפתיעה באותה מידה, הממחישה את יכולתה של המתמטיקה להצביע מיד על עובדה שהשכל הישר יצליח לגלות רק אחרי זמן רב או אפילו יסרב להאמין לה. יהא כדור שהרדיוס שלו הוא מטר אחד, וסביבו קשור חבל. החבל ... מהשכל הישר. וזאת לא מפני שהיא מנוגדת לו אלא כי היא חסינה לכמה מהמלכודות האורבות לחשיבה הויזואלית. מה הייתה ההפשטה הבאה במתמטיקה? אם המשוואה האריתמטית פועלת על מספרים והמשוואה האלגברית פועלת על אותיות המייצגות מספרים, המשוואה הדיפרנציאלית פועלת על פונקציות, שהן עצמן מעין משוואות. גם כאן, כפי שנראה בפרק 8. 8, רמת ההפשטה החדשה מאפשרת טכנולוגיה מתקדמת עוד יותר. מה לגבי אותם תחומי מתמטיקה מופשטים לחלוטין שאין להם כל שימוש? זה בדיוק העניין: אין להם שימוש כיום, אבל כפי שנראה בהמשך כבר היו ענפים רבים של המתמטיקה העיונית שהתגלו מאוחר יותר כמתאימים לטיפול בבעיה מציאותית כלשהי. נראה, על כן, כי כוחה של המתמטיקה גדול יותר ככל שהיא מופשטת יותר. פילוסופיה - אי שלמות שואפת לאינסוף - חלק 2. ...

... על כל זאת ועוד אענה בפסקאות הבאות. הידע המעשי במתמטיקה למשל, מפתח את החלק המתמטי של האדם וחושף אותו לרמות הבנה חדשות וגבוהות יותר. כמו כן, ... הידע יספיק וכבר אין צורך גדול בפרקטיקה? אז לכן, מתמטיקה ואנגלית יוכיחו שכן יש צורך בפרקטיקה מעשית. הידע המעשי ... נושא ולהעמיק ולהבין אותו הכי טוב שיכולים. הידע במתמטיקה הופך להיות הבנה גדולה במחשבים. ידע מעשי הוא המפתח להבנת ...

... במצבים מסויימים את המערכת לזמן מוקדם יותר, אף כאן האדם מבין בטרם תקרה טעות, הוא יודע להפעיל את שיקול הדעת, לדחות סיפוקים לא במקום ולא לבעוט בדרך במטרות הראויות ולנהוג בתשומת לב והערכה עצמית גבוהה. במתמטיקה כאשר בוחרים מידות אורך ורוחב כאשר יש 2 תוצאות, אחת חיובית ואחת שלילית בוחרים בתוצאה החיובית. אבל יש מצבים בחיים שאדם צריך ...

... ויודע לשחק אתם נכון, לכן, גם הכרת הכוחות של האדם הם סוג של משחק או פסיכולוגיה או אם תרצו גם מתמטיקה. ומה בעצם הדבר אומר בפשטות? כאשר האדם לא מכיר את הכוחות שלו כפי שצריך, הוא אומר על דברים שהוא יכול שהוא לא יכול ומפספס ע"י כך הזדמנויות ...

... אליו בתור מעשים. כאשר האדם רוצה לבחור בין פעולות לעשות, הוא יכול לראות מה יותר ישרת את המטרה שלו טוב יותר. נניח הוא מנסה לבחור בין משחק לבין אתגר מתמטי, אז נניח באותו הרגע הוא רוצה ללמוד וגם לשחק. אז אפשר לשאול מה הוא מעדיף? משהו קליל או אתגר? אם אתגר הרי שהאתגר המתמטי עשוי להיות משחק טוב יותר כי במשחק רגיל, האדם רגיל לאתגר את עצמו בדבר פשוט אפילו בלי לחשוב הרבה. אבל, לעומת זאת באתגר מתמטי הוא יותר יאתגר את עצמו ויכול להפוך את האתגר המתמטי למשחק מעניין. ולפעמים על האדם לעשות פעולות ... עכשיו ודפוס החשיבה שלו פתאום ישתנה וילך באופן אוטומטי? הדבר היחיד שאפשר להבין הוא שהאדם הזה מרמה את עצמו. האדם הזה מתעלם מהעובדות בשטח. וכפי שבעולם המתמטיקה אם אדם ינסה לפתור תרגיל בלשלוף מהשרוול פתרון ...