... שפות מלאכותיות המושתתות על אופני ביטוי סימבוליים, ללא תלות בתחביר של השפה הטבעית. כך נולדה הלוגיקה המתמטית, המתמקדת במושג ההוכחה ובתכונותיהן של מערכות אקסיומטיות שונות. לפיכך בעוד שבראשית הלוגיקה נושא המחקר היה חוקי החשיבה הנכונה, נכון יותר לתאר את ... כאשר ניתן להסיק ממנה דבר והיפוכו, מכאן שבצירוף לחוק השלישי הנמנע, ניתן להראות את אמיתותה של טענה על ידי הוכחת שקריותה של שלילתה. הוכחה מסוג זה מכונה בלטינית רדוקציו אד אבסורדום (reductio ad absurdum) או הוכחה בדרך השלילה. מכיוון שבהוכחה כזו ההנחה (שלילתה של טענה מסוימת) מובילה לסתירה, ברור שההנחה אינה יכולה להיות אמיתית. ומכאן שהטענה המקורית (אותה שללנו כהנחה להוכחה על דרך השלילה) אמיתית. כללים אלו הינם ברורים מאליהם אך יש מקרים בהם הרלוונטיות שלהם אינה ברורה. לדוגמה, ישנם ... אופין של טענות מתימטיות (למשל משוואות, שצורתן אינה כזו של נושא - נשוא) ואת אופיו של הטיעון המתימטי, דהיינו ההוכחה. במקביל לחקירת המאפיינים הלוגים של המתמטיקה, הוחל לעשות שימוש במתודות מתמטיות בלוגיקה, וההפריה ההדדית בין שני המדעים גברה. מתמטיקאים ... פרגה היה התומך המשמעותי הראשון של לוגיציזם - העמדה לפיה ניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה. פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שאותן תפס פרגה כלוגיות במובהק. לאחר שפורסם הכרך הראשון ... מן השימוש הטבעי בשפה. בלוגיקה מנסחים ובוחנים מערכות לוגיות בשפה הסימבולית. מערכת לוגית היא תחשיב (calculus) בו ניתן לבצע הוכחות. שני התחשיבים הלוגיים הבסיסיים הם תחשיב הפסוקים (propositional calculus או sentential calculus) ותחשיב הפרדיקטים (predicate calculus). תחשיב הפסוקים הוא ... תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק הקובעים אילו נוסחאות ניתן לגזור מאילו, ובכך להוכיח אותן. התחביר של התחשיב מגדיר באופן רקורסיבי את כל הנבכים של התחשיב. בלוגיקה המודרנית, נהוג להבחין בין התחביר (syntax) ... התכונות הצורניות החשובות ביותר של מערכות לוגיות, ניתן להזכיר את התכונות הבאות, אשר את קיומן עבור מערכות מסוימות ניתן להוכיח או לשלול: עקביות (consistency) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שאין סתירה בין אי אלו מן הטענות המוכלות בהן שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות. נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות של טיעון, שהיא התכונה של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, נאותות של מערכת לוגית היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי חוקי התחשיב, אזי נוסחה זו אמיתית. הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו ... ניתן לראות כי התכונות נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה. קורט גדל הוכיח ב - 1931 שבמערכות לוגיות שהן חזקות מספיק (כאלו שכוללות את האריתמטיקה בתוכן, כמו המערכת שהציע ברטראנד ראסל בפרינקיפיה מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. חוק זה נקרא משפט אי השלמות של גדל. תחשיב הפסוקים תחשיב הפסוקים מאפשר לייצג את ... כזו בטבלה, הרי שהטיעון אינו תקף, שהרי זו דוגמה נגדית. אולם אם אין שורה כזו, הראנו שהטיעון תקף. מערכות הוכחה לתחשיב הפסוקים ניתן לבנות לתחשיב הפסוקים מערכות הוכחה, שבהן ניתן להוכיח מקבוצת טענות נתונה טענות נוספות שנובעות ממנה. מערכות היסק אלה בנויות מכללים סינטקטיים (תחביריים) טכניים בלבד. המערכת הפשוטה ביותר ... אחד מחמשת הקשרים היא מכילה כלל הכנסה (Introduction) וכלל הוצאה (Elimination). מערכת זו היא נאותה (כלומר, כל נוסחה שניתנת להוכחה, היא אמיתית) ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת). תחשיב הפרדיקטים תחשיב פרדיקטים מסדר ראשון הוא מערכת אקסיומטית המאפשרת לטפל בפסוקים שהמבנה הבסיסי שלהן כולל ... מכירה בחוק השלישי הנמנע (לפיו כל טענה היא אמיתית או שקרית, ללא חלופה אפשרית אחרת), ולפיכך היא אינה מאפשרת הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה של תורת הקבוצות נדחית אף היא. הלוגיקה האינטואיציוניסטית נוסחה באופן פורמאלי על ידי ארנד הייטינג ...

... לאינסוף - חלק 2 פילוסופיה - אי שלמות שואפת לאינסוף - חלק 1. שעשועים כבדי - ראש ראינו ששיטת ההוכחה שהנהיג אוקלידס במתמטיקה היא תובענית הרבה יותר מההוכחה המדעית באמצעות ניסוי: שום מתמטיקאי לא יעיז להוכיח טענה כלשהי על סמך בדיקת מיליון דוגמאות, כי כבר קרה שרק המקרה המיליארד ומשהו הכזיב! 39 ההוכחה צריכה להיות עקרונית, בלי קשר לניסיון. הנה, לדוגמה, הטענה שכל סכום של מספרים אי - זוגיים עוקבים המתחיל מ - 1 נותן מספר ריבועי, למשל, 1 + 3=22. במקרה זה, ההוכחה העקרונית קלה להמחשה ויזואלית. את כל המספרים האי - זוגיים מה - 1 ומעלה אפשר לצייר כקבוצות ריבועים היוצרים ... שלפנינו. נכון שכל צירוף של רישים המתחיל מהריבוע הבודד משמאל יוצר ריבוע? הנה יכולים אנו לומר משל (מה שצריך להוכיח) או, אם נרצה להשוויץ בלטינית, quod erat demonstrandum (QED). זה מחזיר אותנו לנושא היופי. למה חושבים אנשים שהוכחה כזאת היא יפה? כי על סמך צעדים לוגיים בודדים אנחנו יודעים משהו בוודאות על כל צירופי המספרים מהסוג הזה. לא סתם מועט המחזיק את המרובה אלא מועט המחזיק את האינסוף! הוכחות כאלה, הנכונות עד לאינסוף, הולידו מגוון שעשועים, שמהם נבעו גם צורות חדשות של יופי וגם הבנות חדשות של המציאות. ... אמנות, בצמחים, ביצורים חיים ולבסוף בכל מקום בו רק הסתכלו. כמובן שחלק מהגילויים האלה היה רק פרי דמיונם, כפי שהוכיח מריו ליביו כשמצא את החתך הזה גם ביחסים השונים בין חלקי הטלוויזיה שלו. 26 ובכל זאת, המספר הזה, 1. ... מיליון פעמים, כי כל טיעון סיבתי מסתמך בעצמו על סיבתיות. הנה, נסה לומר אני מאמין בסיבתיות כי היא תמיד הוכחה כנכונה ותחשוב על מה שאמרת: לא הכי אינטליגנטי, נכון? זכרו שהאידיאל של הפילוסופים הוא אדם שחי - ואם צריך ... לשוטרים, עקף שלוליות וכדומה, בקיצור: הוא למד מניסיון העבר והשתמש באינדוקציה כמו כל אחד. כי גם אם איננו יכולים להוכיח שיש חוקיות בעולם, אין לנו ברירה אלא לנהוג לפיה! הרבה חכמים ניסו להתגבר על הפרדוקס הזה. הבולט שבהם, עמנואל ... למרוץ הזה, וגילו הרבה דברים יפים בדרך. ואז הופיע בחור בן עשרים וחמש בשם קורט גדל (1906 - 1978) והוכיח שכל מערכת עקבית של הנחות מתמטיות חייבת לכלול טענות שלא ניתן להוכיחן בתוך אותה מערכת. גדל עצמו, שהיה אפלטוניסט, הסיק מהוכחת אי - השלמות שלו מסקנה מרחיקת - לכת מאוד: האמת חורגת מגבולות ההינתנות - להוכחה. 11 המתמטיקה, עם ההיגיון הצרוף והמושלם שלה, תצטרך לחיות עם העובדה שייתכנו בתוך עולמה דברים אמיתיים שלא יהיה בכוחה להוכיחם. באופן דומה התמודדו מדעי הטבע עם הערעור על האינדוקציה. לעזרתם בא פילוסוף יהודי - אוסטרי, קארל פופר42 (1902 - ... ימים שלטו במדע הפוזיטיביסטים, אנשים חכמים וקפדנים מאוד שטענו שצריך לסלק מהמדע כל זכר למטפיזיקה, כלומר לטענות שלא ניתן להוכיחן בשום ניסיון, כמו טענות האפלטוניסטים. הם עשו עבודה חשובה בסילוק דברים מיותרים, אבל לקחו את תער אוקאם (ר 3. 1) לקיצוניות שהחניקה את החשיבה המדעית: אפילו אטומים נחשבו בעיניהם משהו כמו מלאכים, שלעולם לא ניתן יהיה להוכיח את קיומם. אמרו הפוזיטיביסטים: תיאוריה היא מדעית רק אם ניתן להוכיח אותה. כלומר, היא צריכה לנבא משהו, ואם הניבוי מתאמת, היא מדעית. פופר, שהיה אז בחור צעיר מאוד, הזמין את ...

... ראיתי קיר, אבל זה לא נכון, כי הזיכרון של העבר גם נוצר עכשיו. זה אומר שאתה לא באמת יכול להוכיח שברגעים הקודמים אתה ראית קיר. למה זה חשוב להבין את מה שאני אומר? יש כאן עניין עם חוויית הזמן, ... אבל הם דומים לי, הן נמצאים באותו גוף כמוני, אז כנראה שגם להם יש תודעה כמוני, כאילו מה? זאת ההוכחה שלך? האם בגלל שהם מדברים כמוך זה אומר שיש להם תודעה כמוך? אתה למעשה שואל איך זה שכולנו רואים ... זה שאתה חושב שכולנו חושבים כמוך, זה למעשה נוצר עבורך. אנחנו קיימים במחשבה שלך. מבחינה אובייקטיבית אתה לא יכול להוכיח אם אני קיים או לא, אתה יכול להוכיח שאתה חושב שאני קיים. אתה לא יודע אם אני באמת קיים. דוגמה, למשל אתה חולם חלום, ובחלום את רואה ... אומרת שכול אחד חווה משהו אחר, אבל יש הסכמה. הדבר הוודאי היחיד שקיים לאדם זה הוא עצמו, מישהו יכול להוכיח שבאמת יש כאן שולחן? יש כאן שולחן? שאלה: כן, אני רואה אותו אליעד: האם מבחינה אובייקטיבית יש כאן שולחן? ... נוצרתי עכשיו, אז לא תהיה קשור לכלום. למעשה אתה נוצר עכשיו עם חוויה שנוצרת בעבר. אתה מבחינתך לא יכול להוכיח שהיית ברגע הקודם, ברגע הזה יש לך את החוויה שהיית אתמול. למציאות יש פוטנציאל אין סופי, ורמת הקושי ליצור ...

... הרי החושים יכולים לטעות, להיות חלק מחלום, משגעון או ממניפולציות של שד (דימון) רע. האמפיריציסטים טוענים שאין שום דרך להוכיח את נכונות האינטואיציות שלנו. שגעון ושדים רעים יכולים לגרום שגם האינטואיציה תטעה. דקרט טוען שהאינטואיציה תמיד אמיתית כי אלוהים ... החולשות החשובות של הדעה הרציונליסטית. רציונליסט מאמין באמונה שלמה שהידע שלו שהושג בדרך האינטואיציה, הוא אמיתי. האם הוא יכול להוכיח זאת ללא שום שימוש אמפירי? אתה יודע אינטואיטיבית שגוף אדום לא יכול להיות כחול באותו הזמן ושאם גוף נמצא ... יסודם בטאוטולוגיה (Tautology), כלומר, משפטים שגם אם הם אמיתיים, הם אינם נותנים שום מידע לגבי העולם הממשי ולא ניתנים להוכחה אמפירית. אפלטון ניגש לבעיה בדרך אחרת. הוא מביא סוג של פרדוקס - כשאנו ניגשים לחקור דבר מסוים עלינו לדעת ... בדרך ארוכה של אבולוציה והתפתחות, היא גם ערובה לאמיתות הידע. אך למרות כל ההסברים הללו, עדיין קיים הקושי הגדול להוכיח מעל לכל ספק שידע מסוים הוא מולד ולא נרכש. מצד שני, אין שום קושי (כמעט) להוכיח את ההיפך כלומר שידע מסוים נרכש בדרך ניסיון. אפילו האמונה באלהים אינה הוכחה לידע מולד. לפי דקרט אני יודע מנסיוני שאני סופי (אמות בעתיד) ולא שלם (אינני מסוגל לכל דבר), אך רכישת ידע על סופיות ואי - שלמות מחייב ידע א - פריורי על נצחיות ושלמות (קרי, אלהים). זו לא רק הוכחה לקיום אלהים אלא גם הוכחה שקיומו הוא ידע מולד. אך ישנן תרבויות ואידאולוגיות שאינן מקבלות מושגים אלו ואינן מכירות בקיום אלהים. אם אני שייך ... מסוימת את הפסל הסופי. גורמים אלו הם - כשרונות, נטיות, פוטנציאל ומשכל שהם אינדיווידואליים בכל אדם. יש הרואים בסיבתיות הוכחה לידע מולד. אני רואה צלחת נופלת לרצפה ונשברת ואני יודע שהצלחת נשברה כי נפלה על הרצפה. דבר זה מחייב ... מניחה על העולם. קיומו של האל, למשל, הוא הכרחי בתאולוגיה, ועם זאת, הנוצרים ראו צורך בניסוח לוגי פורמאלי של ההוכחות לקיום האל. דוגמה לכך היא ההוכחה שניסח אנסלם מקנטרברי במאה ה - 11, המכונה הטיעון האונטולוגי. אנסלם מקנטרברי נחשב למייסד הסכולסטיקה, שהיא שיטה המתבססת בין היתר על לוגיקה ועל דיאלקטיקה כדי להוכיח אמונות ודוגמות. מרטין לותר שנחשב כמייסד הנצרות הפרוטסטנטית במאה ה - 16, התנגד נחרצות להסבר דוגמות ואמונות באמצעים לוגיים. ... die hchste Hur, die der Teufel hat., דרשה בעיר ויטנברג, 17 בינואר 1546). כוונתו של לותר הייתה שהאדם מתפתה להוכחות הגיוניות בשעה שהוא נואש מהאמונה, כשם שגבר מתפתה לזונה כשהוא נואש מאשתו החוקית. אף על - פי כן, תאולוגיה ...

... המלך שהוא בן מלך ולא תרנגול הודו, אבל זה לא יעזור. ואדרבה, ככל שמתווכחים עם בן המלך יותר ומנסים להוכיח לו שהוא לא הינדיק, כך הוא כדי להגן על העמדה שלו, משכנע את עצמו עוד יותר שהוא הינדיק. כי אם מנסים להוכיח לו שהוא טועה, אז הוא מנסה להתבצר בעמדה שלו, וכך הוא משכנע את עצמו עוד יותר שהוא באמת הינדיק. ... בתשובה [להשיבו לדרך הטוב] ביקורת בונה מעוררת ריח טוב בשומע, וביקורת שלילית מעוררת ריח רע לאו כל אדם ראוי להוכיח... כי כשהמוכיח אינו ראוי להוכיח, אזי לא די שאינו מועיל בתוכחתו, אף גם הוא מבאיש ריח של הנשמות השומעים תוכחתו. כי על ידי תוכחתו ... רע, אבל כשמתחילין להזיז אותו הדבר, אזי מעוררין הריח רע. כמו כן על ידי תוכחה של מי שאינו ראוי להוכיח, על ידי זה מזיזין ומעוררין הריח רע של המעשים רעים ומדות רעות של האנשים שמוכיחם, ועל כן הוא מבאיש ...

... לא משהוא אחרת אם היו משהו מיוצר ממשהו, אז ממה היה עשוי המשהו הראשון? ומצד שני אם אתה רוצה להוכיח כי משהו עשוי עליך להיות פעם לפני שעושים משהו ופעם אחרי, אבל מכיוון שאין לפני ואין אחרי אז איך פתאום עכשיו נהיה משהו? כדי להוכיח לפני ואחרי עליך להיות פעם לפני ופעם אחרי ובכל פעם זה יהיה עכשיו כדי להוכיח פה ושם עליך להיות פעם פה ופעם שם ואז אתה נמצא תמיד פה כדי להוכיח שלדבר יש הפך עליך להראות אותו אבל ההפך תמיד יהיה בצד השני אז איך אפשר להראות את ההפך? כאשר ...

... מתורגם ללהבין את זה שאני כישלון או להתאמץ במשהו מתורגם ללהתכונן לכישלון צפוי וכן, לעשות את הטוב ביותר מתורגם ללהוכיח לעצמי שאני כישלון כאשר אדם כזה עושה דברים בחיים הוא לא מנסה להצליח, הוא רק מנסה להוכיח לעצמו עד כמה הוא כישלון ועד כמה הוא לא מוצלח. כל התרגום שלו לדברים לא אובייקטיבי, כל דבר הוא ... אך אינם מבינים את הסיבה שזהו דימוי עצמי נמוך. ואדם כזה, יכול לשנות את הדימוי העצמי שלו, עי שינסה להוכיח לעצמו שהוא מסוגל לעשות דברים שהוא חושב שהוא לא מסוגל לעשות אותם. כלומר, עליו להיות בטוח בנחישות של 100% ... כזה של חשיבה כמו אני לא עושה מספיק טוב זהו דימוי עצמי נמוך לפי הפרמטרים הנל כי הוא מנסה להוכיח לעצמו עד כמה הוא לא עשה הכי טוב ומעניש את עצמו בכך שלמה לא עשה הכי טוב כדי להוכיח לעצמו שהוא לא יכול לעשות הכי טוב. אבל, כמובן שאלה שטויות. אם האדם מקבל את עצמו כפי שהוא באמת, לא מתוך הוכחה טיפשית כזו או אחרת, מקבל את זה שהוא יכול לעשות כל מה שהוא צריך בחיים, ממילא הוא רוצה לעשות ...

... לחזור על עצמך, את מתקדמת. שאלה: אני מתבוננת שזה לא אני, האם זה לא תרגול? אליעד: אם את מנסה להוכיח את זה, אז את לא קשורה בכלל למה שאני מסביר. אל תנסי להוכיח שום דבר. שאלה: אז איך אני אדע שזה לא אני? אליעד: את לא צריכה לדעת שזה לא את. שאלה: ... שאת עושה לבין מה שאני אומר. את עושה הפוף. כל מה שאת עושה, אני אומר לא לעשות. את מנסה להוכיח משהו, אבל אני אומר שאת צריכה לשאול האם זה ככה או ככה ממקום של שווה. את לא יכולה להגיד ... את אמרת שאת מנסה לתרגל שאת היא לא העושה, שאני לא הגוף שלי, העניין הוא שאת לא יכולה לנסות להוכיח משהו, כי זה נקרא לשקר את עצמך. את צריכה לשאול, אבל לא לחכות לתשובה מסוימת. לדוגמה את שואלת האם ...

... יש לפני האפשרויות של יש עולם אין עולם? מי שמעמיק בשאלות האלה הוא מגיע לפרדוקסים, מצד אחד הוא מסוגל להוכיח משהו ומצד שני להוכיח את ההיפך הגמור שלו. אין = אין זמן ומקום, הזמן ומקום עשויים מאין זמן ומקום. כשאומרים שאלוהים יצר את ... הוא אין ומאין התהווה היש. התשובה לכל השאלות היא שיש ואין זה אותו דבר. אם אני מצד אחד מסוגל להוכיח שיש זמן ומקום ומצד שני אני מסוגל להוכיח שאין זמן ומקום אז בעצם מצאתי את התשובה לכל השאלות והתשובה לכל השאלות היא הכל אחד. האדם לא מסוגל ...

... היא דבר היא לא אובייקטיבית, היא תמיד סובייקטיבית, והאדם שמאמין תמיד יהיה לו ספק, ותמיד היה לו ספק, ומה ההוכחה שיש ספק, כי אדם יכול להגיד שאף פעם לא היה לו ספק, אבל אם עכשיו אתם מבינים אותי, את ... משהו, אז זה לא יכול להיות שזה ככה. אבל הוא רק מאמין שהדברים הם כמו שהם, כי אי אפשר להוכיח את הלוגיקה, כי הלוגיקה לא יכולה להוכיח את עצמה, כי הכל זה תהליך לוגי, ואם זה לוגי, אז זה לא יכול להוכיח את עצמו צריך משהו אובייקטיבי להוכיח את הלוגיקה עצמה. וכל אחד יודע לגבי הספק, של לגבי מי אמר שהשכל צודק? והתשובה היא שנכון, אף אחד ...