* פיזיקה - סוגיות בתורת היחסות לאור פילוסופיית המדע של זאב בכלר - חלק 2.

ה. פרדוקס האסם והמוט

פרדוקס פחות מוכר, אנלוגי לפרדוקס התאומות ומעתיק את הבעיה מהזמן אל המרחב, הוא פרדוקס האסם והמוט. הנה נועה רצה עם מוט ארוך ועוברת דרך האסם של מנוחה, שאורכו כאורך המוט ובו שני פתחים. עקב ריצתה מתקצר המוט שהיא נושאת על פי משוואה # לעיל. וכך, למשך כמה רגעים, היא והמוט נסתרים מהעין בעודה רצה בתוך האסם.

אולם, אם על פי תורת היחסות רשאית נועה לראות את עצמה עומדת ואת האסם של מנוחה נע לעומתה, האסם הוא שצריך להתקצר לעומתה. מתקבלים אפוא שני תיאורים סותרים: במערכת - הייחוס של מנוחה היה רגע בו היה המוט כולו בתוך האסם בעוד שבמערכת הייחוס של נועה לא היה רגע כזה מעולם כי האסם היה קצר יותר מהמוט. נוכל להחריף את הפרדוקס אם נבקש ממנוחה לסגור את שתי דלתות האסם למשך אותם רגעים בהם הייתה נועה רצה עם המוט המקוצר בתוך האסם. איך ייתכן שנועה והמוט נעו בתוך אסם ששתי דלתותיו סגורות, אם במערכת - הייחוס שלה היה האסם קצר יותר מהמוט?

הפיתרון מתחיל בגילוי המקור לאי - ההתאמה בין שני התיאורים, קרי, טענתה של מנוחה כי היה רגע שבו שני קצות המוט היו בו - זמנית בתוך האסם. והלא ה"בו - זמניות" הזו היא המושג הראשון שהיחסות ערערה על מוחלטותו. אמנם, אין חולק על עצם קיומם של שני האירועים: א) קצהו האחורי של המוט נבלע בפתח הקדמי של האסם, שדלתו נסגרה אחריו ו - ב) קצהו הקדמי של המוט הגיח מהפתח האחורי של האסם, מיד אחרי שהדלת נפתחה בפניו. אבל בעוד שבמערכת - הייחוס של מנוחה אירע א' לפני ב', במערכת - הייחוס של נועה היה סדר הדברים הפוך!

להבהרת הדברים בואו נעבור למערכת קצת יותר ריאליסטית. תהא נועה טסה בחללית באורך l ומנוחה ממתינה ליד מנהרה באותו אורך. אם תטוס החללית במהירות קרובת - אור דרך המנהרה, תראה מנוחה שהחללית התקצרה ולכן הייתה לרגעים אחדים מוסתרת כולה בתוך המנהרה. נועה, לעומתה, תראה את המנהרה כמתקצרת ולכן חרטום חלליתה הגיח מהפתח הקדמי בטרם עברו הירכתיים בפתח האחורי.

ציור # [שחר, כאן הציור של החללית והמנהרה] ממחיש את הפיתרון במונחי המרחב - זמן הארבע - ממדי: האירועים עצמם, במקומות ובזמנים השונים, קיימים באופן אובייקטיבי במרחב - זמן, אבל "מישור הסימולטניות" או "חתך ההווה" תלוי במערכת - הייחוס של הצופה.

אמרו מעתה: לא זו בלבד שהשינויים המרחביים קשורים בשינויים הזמניים, השינויים המרחביים הם - הם השינויים הזמניים! התקצרותו היחסית של גוף נע נובעת מהעובדה שהאירועים השונים הקשורים בו, כגון הרגעים השונים בהם עברו חלקו הקדמי וחלקו האחורי בנקודות כלשהן במערכת - הייחוס השנייה, מופיעים בסדר - זמנים שונה. וביתר פשטות: ירכתי החללית רודפים מהר מדי את חרטומה. לא כל ספרי הלימוד מצביעים על גזירה פשוטה זו של התקצרות לורנץ - פיצג'רלד מהאפקט היסודי יותר של ההאטה היחסית של השעונים.

ו. פרדוקס משולב

שני הפרדוקסים לעיל, הזמני והמרחבי, עלו באחת משיחותינו עם זאב בסוכה הקסומה בביתו בזיכרון - יעקב. דיוננו בדומה ובשונה ביניהם הביא לשאלה הבאה. בפרדוקס התאומות חוזרת נועה למערכת - הייחוס של מנוחה, ולכן השינוי שחל בה כבר אינו חזותי גרידא אלא שינוי של ממש: מעתה היא תהיה צעירה לתמיד מאחותה. לא כן בפרדוקס המוט והאסם, שבו נועה אינה נעצרת כדי להשוות את מידות האורך שלה עם אלה של מנוחה. האם ניתן לגזור אפקט דומה אם נשפר את ניסוי החללית והמנהרה כך שנועה תימצא בסופו במערכת - הייחוס של מנוחה? האם גם המוט שלה יסבול מהתכווצות תמידית בדומה להצערה התמידית בפרדוקס הראשון?

בקיצור: מה יקרה אם נבקש מנועה לבלום באמצע המנהרה?

נסלק תחילה גורם לא רלוונטי. ברור שאם החללית היא ארוכה והבלם נמצא רק בצדה האחד, אזי, על - פי היחסות, לא תיעצר החללית כולה באותו רגע כי הזמן הדרוש להשפעת הבלימה לעבור מחלק אחד של החללית לחלקים האחרים אינו יכול לעלות על הזמן הדרוש לאור לעבור מרחק זה. לכן, החללית תסבול ממעיכה אם הבלם קבוע בחלק הקדמי, וממתיחה אם הבלם קבוע מאחור. לא אלה האפקטים המעניינים אותנו. החללית צריכה, אם כן, לבלום בכל חלקיה יחד. קל להגיד, אבל איך עושים את זה? הנה הדילמה: אם רוצים אנו למנוע אפקטים של מעיכה או מתיחה, עלינו להפעיל את כל בלמי החללית בו - זמנית, ושוב חוזרת השאלה: בו - זמנית באיזו מערכת ייחוס? הנה, על - פי כללי היחסות הפרטית, האפקטים האפשריים במידה והחללית תפעיל את כל בלמיה:

א. אם יפעלו כל בלמי החללית בו - זמנית במערכת - הייחוס של המנהרה, הרי במערכת - הייחוס שלה עצמה תופיע העצירה תחילה בחרטום החללית ואחר - כך בירכתיה, ולכן תסבול ממעיכה. בעצם, כשנביט בתהליך במערכת - הייחוס של המנהרה, "הקפאנו" את החללית באורך המקוצר שהיה עד כה רק נצפה, עקב הפרש המהירויות, וכעת הפך לממשי ולכן הרסני (הדימוי העולה בדעתנו בנקודה זו אינו מלבב אבל יעיל: אם ידרוך אדם על מקק הרץ במהירות קרובת - אור, יגלה שגופת הרמש ביש - המזל סבלה לא רק מהמעיכה ה"גובהית" שהביאה עליה הנעל מלמעלה אלא גם ממעיכה אורכית, רחמנא לצלן).

ב. אם יפעלו כל בלמי החללית בו - זמנית במערכת - הייחוס שלה עצמה, הרי במערכת - הייחוס של המנהרה תופיע העצירה תחילה בירכתי החללית ואחר - כך בחרטומה, והחללית תיראה נמתחת, אבל היא תתמתח מהאורך המקוצר הנצפה במהירות היחסותית חזרה לאורך המנוחה שלה. במקרה זה לא יחולו בחללית עיוותים.

במילים אחרות, גם הפעלת בלמים רבים לא תמיד תציל את החללית מנזקים. שימו לב שהפעם אנו מדברים על אפקטים פיסיקליים של ממש: אין זו ההתקצרות הנצפית כמו ביחסות הפרטית, שבה כל צופה רואה את חברו מתקצר לעומתו. כאן מדובר במעיכה אמיתית של החפץ שנעצר.

ניתן רק למזער נזקים אלה אם יהיה גוף החללית אלסטי מאוד וההאטה הדרגתית מאוד, כך שהחללית הגמישה תוכל להחזיר לעצמה את צורתה. האפקטים עצמם רק יוחלשו אך לא ניתן למנעם.

ז. תגלית על דרך הסימטריה

בשלב הזה הבחנו במשהו שגרם לנו להתרגש: אם החללית תסבול ממעיכה / מתיחה במעבר מתנועה למנוחה, היא צריכה לסבול מאותם אפקטים, בסדר הפוך, במעבר ממנוחה לתנועה! כי כפי שראינו, על - פי היחסות, מנוע בודד לא יניע את כל גוף החללית באותו רגע, ולכן גם במקרה זה יש להפעיל כמה מנועים לאורך גוף החללית כדי למנוע ממנה נזקים, וגם הפעם לא נימלט מנזקים אלה בכל המקרים, כי הגדרת הבו - זמניות היא תלוית מערכת - ייחוס. לכן:

א. אם יופעלו כל מנועי החללית בו - זמנית במערכת - הייחוס של המנהרה, שהיא גם מערכת - היחוס של החללית עצמה בשלב הראשון, הרי לכשתעבור החללית למערכת - הייחוס הבאה, לומר, כשתהיה שרויה בתנועה תופיע ההאצה תחילה בחרטום החללית ואחר - כך בירכתיה, ולכן תסבול ממתיחה.

ב. אם יפעלו כל מנועי החללית בו - זמנית במערכת - הייחוס הייחוס העתידית, בה תהיה לכשתהיה בתנועה, הרי במערכת - הייחוס ההתחלתית, זו של המנהרה, תופיע ההאצה תחילה בירכתי החללית ואחר - כך בחרטומה, ומכיוון שהפרש הזמן בין שני האירועים קטן מהמהירות הדרושה לאור לעבור ביניהם, לא תהיה מעיכה.

גם כאן, חללית אלסטית מאוד והאצה הדרגתית מאוד יוכלו לאפשר לחללית להתכווץ / להתמתח חזרה בלי לסבול מנזקים מבניים. ניתן למזער את האפקטים, אך הם עצמם מחויבי המציאות.

ברור אם כן כי האפקטים שמתארת היחסות הפרטית הם אפקטים אידיאליים. כדי לקיימם צריכות מערכות - הייחוס בהן מדובר להיות במצביהן מקדמת דנא, ובפשטות: אינסוף זמן. רק במקרה לא מציאותי כזה, במערכות - ייחוס שאין בהן שום עקבות תאוצה, לא נוכל להבדיל בין תנועה ומנוחה. במציאות, כל תנועה החלה בזמן כלשהו, והתאוצה שעברה באותה התחלה מותירה עקבות ברורים במבנה הגוף.

דרך אחת ליצור מערכת - ייחוס אידיאלית היא לחזור ולתקן את עקבות התאוצה. למשל, אם עברה חללית ממערכת - ייחוס אחת לשניה, צריכים הצופים הנמצאים בה לשוב ולתקן אותה על - פי סרגליהם ושעוניהם, למתוח ולכווץ, להאיץ ולהאט, כך שישובו וישררו בה אותם יחסי זמן ומרחב כמו לפני ההאצה. רק אז יראו הצופים במערכת - הייחוס האחרת את האפקטים של היחסות הפרטית.

יובן למה מצאנו את עצמנו מתרגשים מתוצאות אלה: ההתקצרות המפורסמת של גופים נעים היא רק תוצא אידיאלי, שברוב המקרים לא יופיע. זאת על - פי עקרונות היחסות עצמה אך בניגוד גמור לנאמר בכל ספרי הלימוד, כולל בספרם של איינשטיין ואינפלד! 1 עוד אנו תוהים מה לעשות בתוצאה זו וגילינו, ברגשות מעורבים, כי גדולים מאתנו קדמו לנו בגילוי זה.

ח. החידוש אינו חידוש: פרדוקס החלליות והכבל של בֶּל

היה זה ג'ון סטיוארט בֶּל, מי שהוציא את פרדוקס EPR מתחום המטפיסיקה ועשה אותו לניסוי ממשי ונפוץ, שקדם לנו בעבודה קצרה ומבריקה בתחום היחסותי. ניסוי - המחשבה עליו מדבר מאמרו - שאותו ניסחו דֶוואן ובֶּראן ב - 1959 - ידוע מאז כ"פרדוקס החלליות של בל. "

תהיינה שתי חלליות שוות, א' ו - ב', במצב מנוחה וביניהן מתוח כבל. אם רוצים אנו לעשות ניסוי יחסותי על כל המערכת חלליות - כבל, יהיה עליהן לנוע במהירות גבוהה ביחס למערכת - ייחוס כלשהי. יפה, אבל איך נתחיל את התנועה? תכנית סבירה תהיה זו: שתי החלליות, על - פי אות מוסכם, יתחילו לנוע באותו רגע ובאותה עוצמת מנועים. נתעלם לרגע מההתקצרות האמורה לחול בגוף החלליות ונשאל: הרווח בין החלליות מה יהיה עליו? ולכן: האם הכבל יתרפה או יימתח?

יימתח, השיב בל, עד שייקרע! במערכת - הייחוס של שתי החלליות, בשלב בו ינועו השתים באותה מהירות, יגדל הרווח ביניהן בשל הטיית מישור העכשיו. קל להוכיח זאת אם נתמקד בכל אחת מחלקי המערכת לבדו. כל עוד שתי החלליות במנוחה הן מהוות מערכת ייחוס אחת, וכל רגע בשעונה של זו הוא בו - זמני לאותו רגע בשעון חברתה. עכשיו תצאנה שתיהן לדרך באותו רגע. כבר עתה, אפילו אם שתי החלליות הגיעו בתוך אלפית - השנייה למהירות אינרציאלית, אבד התיאום ביניהן: הרגע שבו החללית הקדמית נמצאת בתנועה הוא בו - זמני עם אחד הרגעים בו הייתה החללית האחורית עדיין עומדת. כמו כן, כל רגע שבו החללית האחורית בתנועה הוא בו - זמני עם רגע שבו הקדמית כבר הגדילה את מרחקה ממנה יותר מהמרחק בו היו נתונות כשהיו במנוחה.

בל, בהנאה גלויה, סיפר איך כל עמיתיו ב - CERN היוקרתי כשלו בניתוח התוצאה. סקירת הספרות המעטה שפורסמה בנושא זה מאז, חלקה מאמרים בכתבי - עת מדעיים קצת שוליים ויתרה ב"arXiv" הידוע (מן הסתם כאלה שלא התקבלו לפרסום), חושפת תמונה לא מחמיאה: חילוקי הדעות טרם שככו, ולא תמיד טורחים המחברים לקרוא איש את עבודות רעהו. מאמרם של מצודה וקינושיטה הוא דוגמה בולטת: המחברים מפגינים בורות גמורה לגבי כל עבודות קודמיהם, חוזרים על מסקנות בל, מודים בסוף המאמר כי "גילו" את מאמרו לאחר - מעשה, מתלוננים מרה על היחס הרע שלו זכה מאמרם ומאמרו של בל, ומסיימים במסקנת המחץ: "This means that, unfortunately, many physicists did not, have not [sic] and do not understand the real meaning of the Lorentz contraction even after 100 years of the introduction of special relativity by Einstein. "

משנשוב לדיון רגוע, לא קשה לראות כי מסקנת בל היא המסקנה אליה הגענו גם אנחנו לעיל: החליפו את הכבל המתוח שבין שתי חלליות במסדרון המחבר ביניהן והרי לכם חללית ארוכה עם שני מנועים, שתתמתח או אף תתפרק אם יורה קברניטה להפעיל את שני המנועים "באותו רגע" בעודה ממתינה על הרציף.

משהו מוזר מאוד קורה כאן: לאותה מערכת יש שתי היסטוריות שונות, אחת בהיותה במנוחה ואחת בהיותה בתנועה ביחס למערכת האחרת, וההיסטוריה השנייה לא רק סותרת את הראשונה אלא מאלצת את העבר וההווה להסתדר מחדש על פיה! כל עוד המערכת במנוחה או במהירות נמוכה יחסית טוען הצופה שבה "שני המנועים החלו לפעול באותו רגע. " אבל כעבור זמן קצר, כשהחללית כבר נעה במהירות גבוהה, משנה הצופה את גרסתו: "לא, המנוע הקדמי החל לפעול הרבה לפני האחורי. " פלפול מטאפיסי? בדיוק ההיפך: יעידו הכבל הקרוע, או, בגרסה שלנו, השברים בגוף החללית!

* פיזיקה - סוגיות בתורת היחסות לאור פילוסופיית המדע של זאב בכלר - חלק 4.