* פיזיקה - סוגיות בתורת היחסות לאור פילוסופיית המדע של זאב בכלר - חלק 3.

ט. דיאגרמת מינקובסקי מבהירה את המצב

ברצוננו להראות עתה כי הרבה בלבול היה נמנע לו עשו החוקרים שימוש נרחב יותר בדיאגרמות מינקובסקי. לא זו בלבד שהכלי הוויזואלי הפשוט הזה מבהיר את הבעיה, אלא שבשימוש נכון בו טמונות עוד תובנות רבות שטרם נחקרו.

הנה שתי החלליות של בל (ציור #). השטח האפור בין שני קווי - העולם שלהן הוא קו - העולם של הכבל המתוח ביניהן. המצב פשוט עד להביך: הגדלת הרווח בין החלליות - שתגרום בסופו של דבר לקריעת הכבל - מזדקרת מהציור היישר לעינינו! אם יואצו שתי החלליות בו - זמנית מנקודת ראותו של צופה הנמצא במנוחה לעומתן, יישאר אורך הכבל שביניהן לגבי צופה זה בעינו - שוב, סתירה מיניה - וביה עם כל ספרי הלימוד - אבל במערכת הייחוס של החלליות והכבל עצמם יתרחש דבר דרמטי יותר: מישור העכשיו שלהם נעשה יותר ויותר אלכסוני, כפי שהראינו בפרק ב,, כלומר ארוך יותר. התוצאה: מתיחת הכבל עד קריעה.

י. ושוב סימטריה

משהבינונו עד כמה מיטיבה דיאגרמת מינקובסקי לבטא תהליכים אלה, רק טבעי היה שנחזור על התעלול החביב עלינו ונתבונן בתהליך מנקודת - ראות משלימה: מה יהיה למערכת החלליות - והכבל של בל כשתהיה תנועתה יחסית? הפעם, ככל הידוע לנו, איננו חוזרים על מסקנותיו של שום חוקר קודם.

נניח, אם כן, למנוחה אוהבת השלווה להשתלט על שתי החלליות של בל, ומעתה ברור כי תדאג לכך שהן תישארנה במקומן עם הכבל המתוח ביניהן. נועה, בלית ברירה, משתלטת על חללית שלישית ויוצאת בטיסה מהירה. ברגע שתסתיים תאוצתה והיא תהיה שרויה בתנועה אינרציאלית, תממש את הזכות המוקנית לה ביחסות הפרטית ותטען כי היא שרויה במנוחה גמורה בעוד אחותה היא - היא הנעה לכיוון ההפוך עם שתי החלליות שברשותה והכבל המתוח ביניהן. מה יהיה הפעם? ודאי לא נטען כי אפקטים של מתיחה או התכווצות יופיעו במערכת - הייחוס של מנוחה רק בשל מה שרואה אחותה הצופה בה ממערכת אחרת?

ושוב נקרא את מינקובסקי לעזרתנו. כאן ניצב בפנינו אתגר. דיאגרמת מינקובסקי מתארת בדרך - כלל את ההתרחשויות מנקודת - ראותה של מערכת - ייחוס אחת. הפעם עובר אותו צופה ממערכת - ייחוס אחת לשנייה. נוכל לחשוב על כמה דרכים בהן תוכל הדיאגרמה לתאר מצבים כאלה, אך בשלב זה נעדיף להתקדם בזהירות ולתאר את העולם מנקודת - ראותה של נועה בשני שלבים לפי מערכות - הייחוס השונות בהן היא נמצאת. אם כן, ממש בתחילת תנועתה, כשמהירותה קטנה בהרבה מזו של האור (אנו בוחרים רגע קצר ביותר שבו תנועתה היא אינרציאלית), היא רואה את מנוחה וחלליותיה נעות לכיוון ההפוך באותו קצב, וכמובן כל קטע בכבל המקשר ביניהן נע אף הוא בקצב זה. כעבור כמה דקות, לכשתהיה מהירותה של מנוחה קרובת - אור, תשנה את גרסתה: לא כך קרה, אלא שהחללית השמאלית יצאה ראשונה לדרכה, אחריה קטע הכבל הסמוך לה, אחריו הקטע הבא וכך הלאה עד שלבסוף החלה החללית הימנית לנוע, וכך התקצר הכבל. שימו לב: התקצר הפעם ולא התכווץ. הפעם האפקט הוא יחסותי טהור.

המסקנה: דיאגרמת מינקובסקי ממחישה היטב - ככל הידוע לנו זו פעם ראשונה - את התקצרות לורנץ - פיצג'רלד ע"י הצגת ההיסטוריה העכשווית של מערכת - הייחוס הנעה. היסטוריה זו מבטלת את ההיסטוריה הקודמת, לפיה החלו כל חלקי העצם החיצוני לנוע באותו רגע, וגורסת כי חלקיו האחוריים החלו לנוע לפני הקדמיים. שוב מתאשרת, אם כן, מסקנתנו הקודמת: שינוי מערכת - הייחוס של הצופה משנה את כל פני המרחב - זמן בו הוא נמצא, כולל סידורם המרחבי של אירועים בעבר.

יא. הרחבה ליחסות הכללית

מעצם העובדה שבפרקים הקודמים עסקנו במקרים של שינוי מערכת - הייחוס, עברנו מדי - פעם מהיחסות הפרטית אל הכללית. ננסה עתה להכליל את מסקנותינו ליחסות הכללית.

בתמצית, היחסות הכללית נועדה לפרוץ את המגבלה שהוטלה על הפרטית, שמסקנותיה היו נכונות רק למערכות - ייחוס אינרציאליות נטולות תאוצה. פריצת - הדרך המאושרת של איינשטיין החלה כשהבחין בשוויון - ערך חדש ומפליא, דומה לשוויון - הערך שמצא גלילאו בין מנוחה לתנועה קצובה: זה היה שוויון בין תאוצה לכבידה.

הנה ניסוי הדלי והחבל, שבכלר מקדיש לו ב"מהפכות" דיון מאיר - עיניים. יהא דלי מלא מים תלוי על חבל היורד מהתקרה. נסובב את הדלי סביב עצמו פעמים רבות עד שהחבל יצבור פיתולים רבים ואז נניח לו. הדלי יחל להסתובב במהירות חזרה למצב הקודם. המים יידחקו אז אל שולי הדלי בשל הכוח הצנטריפוגלי, שאינו אלא צורה מורכבת של תאוצה. התאוצה, יודעים כולנו, אינה יחסית אלא מוחלטת: אדם היושב במכונית שהחלה פתאום לנסוע אינו יכול לטעון ששאר העולם הוא זה שהחל פתאום לנסוע לכיוון ההפוך, כי את התאוצה הוא חש היטב על גופו שלו. אבל מה אם יטען אדם, באותן שניות מעטות, כי פועל עליו כוח כבידה המושך אותו אל ירכתי המכונית? הטענה נגועה לכאורה באי - סבירות קיצונית כי לא ניתן לראות כל מקור לכוח הכבידתי הזה. ואם נשוב לניסוי הדלי, איך נוכל לטעון כי המים נדחפים אל שולי הדלי בשל כוח כבידה המושך אותם? מה מקור כוח זה? מאך, הארכי - נבל הקנטיאני בדואליזם של בכלר, סבר שזהו כוח משיכה הבא מאינספור הכוכבים שביקום. איינשטיין, בכמה הסתייגויות, קיבל השערה זו - סיבה נוספת לבכלר להגלותו אל מחנה האקטואליסטים. אבל בואו נלך לרגע בעקבות איינשטיין ונסכים לראות בכל תאוצה ביטוי של כבידה ממקור כלשהו. הנה הסימטריות החדשות שחושפת שקילות זו:

א. אם נשים אדם בחדר סגור ונניח לחדר ליפול נפילה חופשית, כל ניסוי שייעשה בו הצופה לפני הפגיעה הגורלית בקרקע יתיישב עם הטענה כי החדר מרחף ללא משקל בחלל החיצון.

ב. ואם נשים אדם באותו חדר סגור שבאמת ירחף ללא משקל בחלל החיצון, אבל נניע את החדר כלפי מעלה בתאוצה המתאימה, כל ניסוי שייעשה בו הצופה יתיישב עם הטענה כי החדר נמצא על פני כדור - הארץ ונתון להשפעת הכבידה.

ושוב, האור איים לקלקל סימטריה יפה זו: קרן - אור אנכית שתעבור בתוך החדר במקרה ב' תשרטט פרבולה, בדומה לאבן נופלת, מה שאור לא היה אמור לעשות בשדה כבידה. ושוב בא איינשטיין וגזר (תרתי משמע) מיוצא - דופן זה כי קרן אור תתעקם גם בהשפעת הכבידה, ושוב הטבע ציית, ושוב, לא נשלה את עצמנו שבכלר יתרשם מתוצאה מופלאה זו.

מכאן המשיך איינשטיין והגדיר את הכבידה כעיקום המרחב - זמן עצמו. במילים אחרות, המרחב הארבע - ממדי של מינקובסקי מתעקל בסביבת גוף בעל מאסה. ולכן כל ההתעקמות של מסלולי הגופים סביב המאסה - מהפרבולה שמשרטט קליע במעופו ועד לאליפסה שמשרטט כוכב - לכת סביב השמש - כל אלה קווים ישרים הם, רק שהמרחב - זמן עליו הם משורטטים הוא עצמו עקום.

פיסיקאים אחדים, הבולט שבהם דניס סיאמה, ניסו להכליל את היחסות הכללית כך שכל תוצאי היחסות הפרטית והמכניקה הקלסית יוכלו להיגזר ממנה. אם ינסה אדם, למשל, לדחוף סלע כבד בחלל, והסלע יתנגד לשינוי כפי שדורש ממנו החוק השני של ניוטון, אות הוא כי מכלול כוחות הכבידה ביקום הם המרתקים סלע זה למקומו. האינרציה הופכת כאן לתולדה פשוטה של הכבידה.

אבל איך יכולים הכוכבים הרחוקים, כפי שסבור מאך וכפי שאיינשטיין מקבל, למשוך את המים שבדלי רק בשל "סיבובם" המדומה סביב הדלי? איינשטיין גזר מטענה זו ניבוי מפליא, הוא האפקט הגרוויטו - מגנטי: אם ניתן לראות בסיבובו המדומה של היקום סביב הדלי גורם ל"משיכת" המים שבדלי כלפי חוץ, משתמע מכך שאם יושם מעט חומר בתוך טבעת ענקית בעלת מאסה עצומה, וטבעת זו תסתובב במהירות, יופעל כוח משיכה מיוחד על החומר שבמרכז, בדומה לכוח המגנטי הנגרם ע"י מטען חשמלי מסתובב. ניסויים חדשים נעשו בימים אלה ממש, והחוקרים טוענים שהאפקט אכן אומת.

כדרכנו נסתייע עתה במינקובסקי להסביר את עקרונות היחסות הכללית. ציור # מראה גוף בעל מאסה גדולה (קו - עולם א'), גוף קטן יותר הנופל נפילה חופשית לעברו (קו - עולם ב') וגוף קטן אחר הרחק ממנו שאינו מושפע מכבידתו (קו - עולם ג'). עיקום המרחב - זמן סביב גוף א' מתואר ע"י קואורדינטות המרחב והזמן, שאינן רק נעשות מוטות כמו שעשינו בדיונינו הקודמים ביחסות הפרטית, אלא מתעקמות ממש סביב קו - העולם א'. גם קו - העולם של ב' אינו עוד רק קו ישר זקוף או אלכסוני אלא עקום. הכלל הוא זה: אם עיקום קו - העולם של הגוף הוא כעיקום קואורדינטות המרחב - זמן שסביבו, כמוהו כגוף באינרציה. הדבר חל באותה מידה על גוף ג', שעיקומו הוא כעיקום המרחב - זמן סביבו, שבמקרה זה הוא עיקום אפס. ההבדל בין עיקומי קו - העולם והמרחב - זמן שסביבו הוא - הוא התאוצה. נחשוב עתה על שני מצבים: גוף הנמצא במנוחה בשדה כבידה, כלומר מתנגד לכבידה, וגוף הנע בתאוצה מחוץ להשפעת הכבידה. כאן אנו מבחינים כי את שוויון - הערך בין כבידה ותאוצה ניתן לבטא בשוויון גיאומטרי פשוט, ואיננו יודעים אם מישהו לא ניסח אותו לפנינו:

חוקי הפיסיקה אינם מבדילים בין גוף בעל קו - עולם ישר העובר בתוך מרחב - זמן זמן עקום, לבין גוף בעל קו - עולם עקום העובר בתוך מרחב - זמן ישר, אם מידת העיקום היחסי שווה.

במילים אחרות: ביחסות הפרטית התנועה היא יחסית בין המאסות ואילו התאוצה היא מוחלטת, אבל ביחסות הכללית, שבה גם המרחב - זמן הוא יישות פיסיקלית, גם התאוצה היא יחסית בין המאסה לבין המרחב - זמן.

דיאגרמות - מינקובסקי המתארות עיקומים כאלה יכולות לסייע לנו בגישה בה נקטנו לעיל, דהיינו, תיאור המתרחש מנקודת - ראותו של צופה שמערכת - הייחוס שלו אינה קבועה אלא משתנה עם הזמן: כשם שביחסות הפרטית ניתן "לנרמל" מערכת - ייחוס בתנועה יחסית וליישר מחדש את הקואורדינטות שלה כך שהזווית בין ממדי המרחב והזמן תהיה 90 מעלות, כך ניתן "לנרמל" מערכת - ייחוס בתאוצה יחסית כך שקו - העולם שלה יתיישר ואילו קואורדינטות המרחב - זמן שסביבה יתעקמו בהתאמה.

יב. השערה: תאוצה רגעית ניתנת לתיאור כגל כבידה.

להלן נרשה לעצמנו להשתעשע בניסיון משלנו ליישם את שוויון - הערך בין כבידה לתאוצה. זו השערה שאם תתגלה כעקבית תוכל לסייע בהבנת טבע המרחב - זמן.

נשוב אל הצופה מפרק י, שעבר פתאום ממצב מנוחה ביחס לשאר היקום למצב תנועה, ושעקב שינוי זה ראה את כל העצמים סביבו מתקצרים בכיוון תנועתם היחסית. טיפלנו בצופה זה ע"י תיאור שתי מערכות - ייחוס בהן הוא נמצא בזו אחר זו, כשהאחרונה מתקנת את ההיסטוריה שנרשמה בראשונה. האם נוכל לתאר עתה צופה זה במערכת - ייחוס אחת? דיאגרמות מינקובסקי ליחסות כללית נותנות תשובה חיובית: זה יהיה פשוט צופה נייח שהמרחב - זמן סביבו משתנה, פתאום או בהדרגה. דוגמה לצופה כזה היא אדם הנמצא על לוויין הסובב את כדור - הארץ: כשהוא מסתכל על השעונים שעל הארץ לעומת שעונים הנמצאים הרחוק בחלל החיצון, הוא מבחין שהזמן בצדו האחד נע לאט יותר מאשר בצדו השני. ואם יתחיל צופה זה בנפילה חופשית היישר כלפי הארץ, יבחין שקצב הזמן משתנה לא רק ממקום למקום אלא גם מרגע לרגע.

הנה אם כן המקרה של צופה שהיה במנוחה ופתאום החל לנוע. ניתוח למצבו ברוח היחסות הכללית יאמר כך: הצופה נשאר במקומו כל העת, אבל בשלב מסוים פגע בו גל כבידה שגרם לו לזעזוע דמוי - תאוצה. גל זה נגרם כתוצאה מתזוזתם הפתאומית של כל העצמים ביקום, שעד אותו רגע היו במצב מנוחה כמו הצופה שלנו ופתאום החליטו ללא סיבה לעבור למצב תנועה והשאירו את הצופה לבדו עומד ביקום כולו. עד כאן הלכנו בנאמנות בעקבות מאך, כפי שעשה איינשטיין.

אבל הנה מתבלט בתיאור שלנו יסוד מעניין: אם, בעקבות איינשטיין, נסרב לקבל את קיומה של השפעה מיידית, נצטרך להניח שכל העצמים ביקום לא החלו לנוע באותו רגע אלא על - פי סידור מיוחד ומדויק מאוד: תחילה החלו לנוע העצמים הרחוקים ביותר מהצופה שלנו, אחריהם העצמים הקרובים מעט יותר, וכך הלאה עד שהעצמים בקרבת הצופה נעו אחרונים. האפקט הכבידתי שפעל על הצופה הוא אם כן האפקט המצטבר של כל התנועות האלה ביקום.

במילים אחרות, כשצופה זה מסתכל סביבו על היקום, הוא רואה את כל העצמים ביקום כאילו החלו לנוע באותו רגע בו חווה תאוצה, אבל כמו במקרה של היחסות הפרטית, עליו להסיק מכך כי עצמים אלה החלו לנוע בעבר, ובזמנים שונים על פי מרחקם ממנו, כך שכל השפעותיהם התכנסו עליו באותו רגע בדיוק. התוצאה המתקבלת היא מעין גל כדורי מתכנס, שראשיתו בכל קצווי היקום בעבר הרחוק וסופו בצופה שלנו. במילים אחרות, לפנינו גל כבידה הפוך בזמן.

תרחיש זה אינו יכול שלא להישמע מוכר לכל העוסק באלקטרומגנטיות. השאלה מדוע קיימים רק גלים אלקטרומגנטיים מתפזרים ולא מתכנסים, בעוד משוואות מקסוול מתירה את שני התרחישים, היא אחת ממרכיבי "בעיית חץ הזמן" המפורסמת, בה נפגוש בפרק הבא. יתרה מזאת, גל מהופך כזה, היוצא מהמקור אל העבר, הוא יסוד מודל הבליעה (absorber theory) המפורסם של וילר ופיינמן. התיאור המוצע כאן חושף סימטריה דומה: כשם שמאסה מואצת אמורה לשלוח גל כבידה המתפזר בכיוון העתיד, ניתן לראות בתאוצה עצמה תוצאה של גל כבידה מהופך.

תרחיש כזה יכול אולי להסביר את "שינוי העבר" המוזר שתואר בפרקים הקודמים כעומד ביסוד האפקטים היחסותיים: העיוות במרחב - זמן שיוצר "גל הכבידה" גורם לכך שהעבר נראה שונה, בדומה ל"עדשות הכבידה" הידועות או אף לשינוי שיוצר גוף מאסיבי. יתרה מזאת: גם בהשפעות הסיבתיות המגיעות מהעבר - אלקטרומגנטיות וכבידתיות, חלים שינויי מרחב וזמן בעוברן באותו אזור בו עבר גל הכבידה.

* פיזיקה - סוגיות בתורת היחסות לאור פילוסופיית המדע של זאב בכלר - חלק 5.