אינסוף - מבוא
אינסוף הוא מושג שזוכה במתמטיקה, בפילוסופיה, בתאולוגיה ובשפת היומיום למשמעויות רבות ושונות. המשותף לרוב המשמעויות הללו הוא תפיסת
האינסוף כדבר מה שתכולתו גדולה מכל דבר אחר, תהליך שלא יגיע לסופו לעולם. סימונו ברוב ענפי המתמטיקה הוא \ infty.
האינסוף במתמטיקה במתמטיקה, ישנם שני סוגים עיקריים של
אינסוף - זה הבא לתאר גודל של קבוצה שאינה סופית - גודל שכזה מכונה עוצמה. השני בא לתאר תהליכים גבוליים, ומשמעותו היא "כמה שנרצה" - כלומר, שאיפה
לאינסוף פירושה שאנו יכולים להגיע למספר גדול כרצוננו. זהו
אינסוף שמושתת אך ורק על אלמנטים סופיים, אך מאחוריו עומד תהליך
אינסופי. ישנן גם מערכות מספרים שכוללות בהן את
האינסוף כמספר, או מרחבים שבהם
האינסוף נכלל בתור איבר של המרחב. בכל המקרים הללו הדבר גורר שינוי של כמה מהתכונות המתקיימות במערכת, ולעתים אין
האינסוף שהוסף אליהן מהווה יותר מסימון לצורכי נוחות בלבד.
האינסוף כתהליך הגדל כרצוננו תכונתם של המספרים הטבעיים, שלכל אחד מהם יש מספר גדול ממנו, הייתה ידועה כבר ... כל מספר טבעי, החל ממקום מסוים יהיו כל איברי הסדרה גדולים ממנו. זוהי דוגמה לתהליך של שאיפה
לאינסוף, אף
שהאינסוף בו בא לידי ביטוי רק באמצעות מושגים סופיים. הגדרה פורמאלית של תהליך הגדל
לאינסוף ניתנה במאה ה - 17, בעת העיסוק במושג הגבול, בתחילת יצירתו של החשבון האינפיניטסימלי. במסגרת דיון זה הנהיג המתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס בשנת 1655 את הסמל \ infty למושג
האינסוף. הסמל בא לידי שימוש, למשל, בביטוי מהצורה \ lim_ {n \to \infty} x_n שאותו יש לקרוא " הגבול של הסדרה \ x_n כאשר n שואף
לאינסוף" (ראו הרחבה בעניין זה בערך גבול).
האינסוף כגודל מוחשי הפיתוח העשרוני
האינסופי של 0.999... השווה גם ל - 1 -
אינסוף העיסוק
באינסוף כגודל מוחשי בא לידי ביטוי בפרדוקס של גלילאו, המדגים של תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות שמספר איבריהן אינו סופי (קבוצות
אינסופיות). גלילאו הראה כי ניתן ליצור התאמה שממנה נובע כי מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים ... שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות
אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה. המחשה נוספת לתכונות המפתיעות של קבוצות
אינסופיות ניתנת בסיפור המלון של הילברט. טיפול פורמאלי בקבוצות
אינסופיות נוצר על ידי גיאורג קנטור בסוף המאה ה - 19, במסגרת פיתוחה של תורת הקבוצות. מונח העוצמה נוצר ... הריבועיים יש אותה עוצמה, אף על פי שאחת הקבוצות מכילה ממש את רעותה. ריכרד דדקינד הגדיר קבוצה
אינסופית ככזו שהיא שוות עוצמה לקבוצה המוכלת בה ממש. הישג גדול של קנטור היה ההוכחה שאין מקום לדבר על גודל
אינסופי יחיד, אלא יש סוגים רבים של גדלים
אינסופיים. העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, למשל, גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים. את העוצמה של ... (ולקבוצות השקולות לה), שלא ניתן לטפל בהן במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קרא קנטור
"האינסוף המוחלט". פעולות
באינסוף יש כמה דרכים שבהן ניתן לצרף את הסמל \ \ infty למערכות מספרים מוכרות. בכל אחת מדרכים אלה מקבלות ...