לוגיקה - מבוא... הלוגית של הטיעונים. טיעון הוא תקף כאשר ההנחות מספיקות לשם תמיכה במסקנה, כך שלא ייתכן שההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית. ההכרח הלוגי של הטיעונים התקפים נובע מכך שלטענות ישנו מבנה פנימי, למשל, שבכל טענה ישנו נושא ונשוא, ושכל טענה ... המסקנה נובעת בהכרח מן ההנחות. מהי נביעה הכרחית? כאשר ניתן לומר שאין מצב עניינים שבו ההנחות אמיתיות אבל המסקנה שקרית, כלומר כאשר אין דוגמה נגדית. באמצעות הניתוח של מבנן הבסיסי של טענות, אריסטו זיהה כי לטיעונים בעלי שתי הנחות ... בהכרח, אמיתית. אין באפשרותנו להעלות על דעתנו מצב שבו ההנחות אמיתיות והמסקנה אינה אמיתית. אבל מה אם אחת ההנחות שקרית? או אז הטיעון עודנו תקף, אף שבמקרה כזה ייתכן שהמסקנה שקרית. אריסטו סבור כי הטיעון תקף בזכות צורתו, ללא קשר לשאלה האם חלק מהטענות שקריות מבחינת התכן שלהן. ההבחנה בין טיעון תקף שבו ההנחות אמיתיות לטיעון תקף שבו ההנחות אינן אמיתיות היא ההבחנה בין ... הקבועים הלוגים, נשארת חשופה לעינינו. מתפיסה זו של הצורה התקפה של הטיעון יוצא שאם בטיעון מסוים ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית אזי הטיעון אינו תקף. למשל בטיעון - לכאורה, שדומה לקודם: 1.כל בני האדם הם בני תמותה. 2.כל היוונים הם ... לשאת את אותה תכונה בעת ובעונה אחת, מן ההיבט הלוגי או הסמנטי, טענה אינה יכולה להיות גם אמיתית וגם שקרית, ומן ההיבט הפסיכולוגי, לא ניתן לחשוב מחשבה ואת המחשבה המנוגדת לה בעת ובעונה אחת. העיקרון מופיע בספר המטפיזיקה של ... מטבע הדברים נקודת המוצא לכל שאר האקסיומות 2) חוק השלישי הנמנע - לפיו טענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, ואין שום אפשרות ביניים שלישית. מכאן, שהלוגיקה בוחנת טענות אך ורק אם יש להן אחת משני ערכי אמת: אמת ושקר. טענות שאינן כאלו אינן מעניינה של הלוגיקה, ובאשר לטענות שהלוגיקה כן עוסקת בהן, אין אופציה נוספת. לא תיתכן טענה שאינה אמת ואינה שקר, ולכן ביטוי כגון או שדני אוהב ללכת לבית הספר או שדני לא אוהב ללכת לבית הספר יחשב כנכון בהכרח, משום שאחד החלקים של המשפט חייב להתקיים. חוק אי - הסתירה מאפשר להראות את שקריותה של טענה כאשר ניתן להסיק ממנה דבר והיפוכו, מכאן שבצירוף לחוק השלישי הנמנע, ניתן להראות את אמיתותה של טענה על ידי הוכחת שקריותה של שלילתה. הוכחה מסוג זה מכונה בלטינית רדוקציו אד אבסורדום (reductio ad absurdum) או הוכחה בדרך השלילה. מכיוון שבהוכחה ... אינה ברורה. לדוגמה, ישנם משפטים וטענות שאנו משתמשים בהם בחיי היומיום שאין להם בהכרח תשובה מוחלטת של אמת או שקר. ניקח לדוגמה את השאלה מתי הופכת קבוצה של חפצים לערימה. למשל, כמה גרגרי חול דרושים על מנת להפוך לערימה? ... את עקרון השלישי הנמנע. בענף אחר וחדש יחסית של הלוגיקה, לוגיקה עמומה (Fuzzy logic), עוסקים בטענות שאינן אמיתיות או שקריות באופן חד - משמעי. מגבלות הלוגיקה האריסטוטלית מנקודת המבט של הלוגיקה המודרנית, ללוגיקה של אריסטו מגבלות רבות, והיא אינה ... תקפותו של הטיעון הבא: הנחה: המלך הוא עירום. מסקנה: המלך הוא עירום. אין מצב שבו ההנחה אמיתית ואילו המסקנה שקרית, ועל כן הטיעון תקף (אם כי הוא טיעון שאין בו כל עניין). אחד ההבדלים הברורים בין הלוגיקה האריסטוטלית לבין ... סמנטיקה לתחשיב הפסוקים במסגרת הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים, כל פסוק יסודי יכול לקבל אחד משני ערכי אמת: אמת או שקר, ובלבד שהוא מקבל את אותו ערך בכל הופעה שלו באותו טיעון. כל קשר לוגי מובן כפונקציית - אמת, דהיינו עבור כל צירוף של ערכי אמת, מחזיר הקשר ערך אמת אחד ויחיד. לדוגמה, השלילה מחזירה פסוק שקרי עבור כל פסוק אמיתי אליו היא מקושרת, ומחזירה פסוק שקרי עבור כל פסוק אמיתי. נוח לייצג פונקציות אמת באמצעות טבלת אמת, בהן T ו - F מייצגים את הערכים אמת ושקר, בהתאמה (באלגברה בוליאנית יוחלפו אלו בערכים 1 ו - 0 בהתאמה). בטורים הימניים של הטבלה אנו ממצים את כלל ... זה הוא אמיתי בזכות הקשרים הלוגיים שבין רכיביו, ללא תלות באמיתותם של הפסוקים האטומיים עצמם. פסוק המקבל את הערך שקר בכל פירוש נקרא סתירה. פסוק הוא קונטינגנטי אם ורק אם אינו סתירה ואינו טאוטולוגיה. קבוצה של פסוקים נקראת עקבית ... של הפסוקים המרכיבים אותו, וכאשר הטבלה גמורה, ניתן לבדוק האם ישנם מצבים בהם ההנחות של הטיעון אמיתיות אבל המסקנה שקרית. אם יש שורה כזו בטבלה, הרי שהטיעון אינו תקף, שהרי זו דוגמה נגדית. אולם אם אין שורה כזו, הראנו ... (פרדיקטים) החלים על אובייקטים, או על משתנים שערכיהם הם אובייקטים. הפרדיקטים עצמם הם פונקציות המחזירות ערך אמת (אמיתי או שקרי) עבור אובייקטים מסוימים או עבור משתנים מסוימים. בתחשיב פרדיקטים מסדר גבוה יותר, פרדיקטים יכולים לחול על פרדיקטים אחרים וכמתים ... מעבודתו של המתמטיקאי לויצן אגברטוס יאן בראואר. היא אינה מכירה בחוק השלישי הנמנע (לפיו כל טענה היא אמיתית או שקרית, ללא חלופה אפשרית אחרת), ולפיכך היא אינה מאפשרת הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה של תורת הקבוצות נדחית אף היא. ...