לוגיקה - מבוא... על אופני ביטוי סימבוליים, ללא תלות בתחביר של השפה הטבעית. כך נולדה הלוגיקה המתמטית, המתמקדת במושג ההוכחה ובתכונותיהן של מערכות אקסיומטיות שונות. לפיכך בעוד שבראשית הלוגיקה נושא המחקר היה חוקי החשיבה הנכונה, נכון יותר לתאר את העניין של הלוגיקה ... לתת ניתוחים יסודיים של טענות מתמטיות מורכבות, ולזהות תכונות צורניות לא רק של הטענה ושל הטיעון, אלא גם של מערכות לוגיות שלמות, תכונות כגון שלמות, נאותות, כריעות וקומפקטיות, שהן תכונות הנוגעות לאפשרויות ההבעה הגלומות בשפה מסוימת או במערכת אקסיומטית ... סמלים, שניתן להבין אותן כמייצגות את הצורות של הטענות וההיסקים שאנו מכירים מן השימוש הטבעי בשפה. בלוגיקה מנסחים ובוחנים מערכות לוגיות בשפה הסימבולית. מערכת לוגית היא תחשיב (calculus) בו ניתן לבצע הוכחות. שני התחשיבים הלוגיים הבסיסיים הם תחשיב הפסוקים ... ללא קשר לפירוש שאנו נותנים למונחים הלא - לוגיים המופיעים בהן. מכאן שהלוגיקה המודרנית עוסקת בבחינת תכונותיהן הצורניות של מערכות לוגיות, הן מבחינת התחביר שלהן והן מבחינת הסמנטיקה שלהן. למחקר כזה קוראים מטא - לוגיקה. מבין התכונות הצורניות החשובות ביותר של מערכות לוגיות, ניתן להזכיר את התכונות הבאות, אשר את קיומן עבור מערכות מסוימות ניתן להוכיח או לשלול: עקביות (consistency) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שאין סתירה בין אי אלו מן הטענות המוכלות בהן שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות. נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות של טיעון, ... נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה. קורט גדל הוכיח ב - 1931 שבמערכות לוגיות שהן חזקות מספיק (כאלו שכוללות את האריתמטיקה בתוכן, כמו המערכת שהציע ברטראנד ראסל בפרינקיפיה מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות ... שורה כזו בטבלה, הרי שהטיעון אינו תקף, שהרי זו דוגמה נגדית. אולם אם אין שורה כזו, הראנו שהטיעון תקף. מערכות הוכחה לתחשיב הפסוקים ניתן לבנות לתחשיב הפסוקים מערכות הוכחה, שבהן ניתן להוכיח מקבוצת טענות נתונה טענות נוספות שנובעות ממנה. מערכות היסק אלה בנויות מכללים סינטקטיים (תחביריים) טכניים בלבד. המערכת הפשוטה ביותר מכונה מערכת הדדוקציה הטבעית, המכילה עשרה כללי היסק. ... להפעיל את האופרטורים המודליים של ההכרח והאפשרות ולקבל בהכרח יורד גשם או אפשרי שיורד גשם. הלוגיקה המודלית מציעה מספר מערכות אקסיומטיות בעלות תכונות שונות, והיא ניתנת להחלה במספר תחומים נוספים, למשל לשם תיאור מושגים דאונטיים (מושגי החובה וההיתר המוסרי, ...