ידע להצליח - Yeda.EIP.co.il

הצטרף לחברים באתר!
שם
סיסמא
לחץ כאן

להצטרף לחברים באתר!
קבל ייעוץ בכל תחום!
ישירות מאליעד כהן!
אין בעיה! יש פתרון!
לקבלת ייעוץ חייג:
050-3331-331
הדפסה פילוסופיה של המתמטיקה - מבוא: הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה העוסק בהנחות ...
הדף Facebook
הקבוצה Facebook
הדף Facebook
הקבוצה Facebook

פילוסופיה של המתמטיקה - מבוא

הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה העוסק בהנחות היסוד של המתמטיקה ובמשמעותה של המתמטיקה. הפילוסופיה של המתמטיקה מנסה לתת תשובות לשאלות כגון:

"האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה?"

"מדוע המתמטיקה שימושית בתיאור היקום?"

"באיזה מובן, אם בכלל, ישויות בסיסיות של המתמטיקה, כמו מספרים, קיימות?"

"האם משפטים מתמטיים נכונים ובאיזה אופן?"

תוכן עניינים:

1 היחס לפילוסופיה הכללית

2 התפתחות המתמטיקה: תגלית או המצאה?

3 מדוע המתמטיקה עובדת?

4 יסודות המתמטיקה ומקור הוודאות שלה

4.1 ריאליזם מתמטי, או פלאטוניזם

4.2 פורמאליזם

4.3 לוגיציזם

4.4 קונסטרוקטיביזם ואינטואיציוניזם

4.5 תאוריות השכל המוגשם

4.6 קונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי

5 מעבר ל"אסכולות"

5.1 מעין - אמפיריציזם

5.2 פעולה ומעשה

5.3 איחוד

5.4 אתיקה

5.5 אסתטיקה

5.6 שפה

היחס לפילוסופיה הכללית:

כמה פילוסופים של המתמטיקה רואים את תפקידם כתיאור של המצב של המתמטיקה כפי שהיא, כפירוש ולא כביקורת. אך לביקורת יכולה להיות השפעה ממשית על המחקר המתמטי, ולפיכך הפילוסופיה של המתמטיקה יכולה להיות משמעותית ביותר עבור מתמטיקאים בפועל, במיוחד בתחומים חדשים שבהם עדיין אין בדיקה טובה של ההוכחות המתמטיות על ידי חוקרים רבים, ולכן ייתכן כי ימצאו טעויות. ניתן למצוא טעויות כאלה רק אם יודעים היכן לחפש אותן, ואיפה הגיוני שיעלו. נושא זה הוא אחד מהתפקידים החשובים של הפילוסופיה של המתמטיקה.

בעשורים האחרונים, יש שניסו לקשר בין המתמטיקה לבין עניינים פילוסופיים אחרים, כגון אפיסטמולוגיה ואתיקה. עניינים אלה נדונים בסוף הערך.

התפתחות המתמטיקה: תגלית או המצאה? :

השאלה האם התפתחות המתמטיקה, כפי שהיא מתבטאת בהעלאת השערה חדשה או במציאת הוכחה חדשה, היא בגדר תגלית או בגדר המצאה, העסיקה את המתמטיקאים בסוף המאה ה - 19 ותחילת המאה ה - 20, אם כי שורשיה מגיעים עד לאריסטו ואפלטון.

מצד אחד מתקיימת הגישה לפיה כל העצמים המתמטיים (משפטים, הוכחות וכדומה), אלה הידועים לנו וגם אלה שאינם ידועים לנו, קיימים ב"חלל וירטואלי" כלשהו, וכל שנותר הוא לגלות אותם. בהתאם לגישה זו, ניסוח משפט חדש הוא בגדר תגלית, וכך גם ביחס להוכחתו. בהתאם לכך, התפתחותה של המתמטיקה אינה אלא התפתחות הידע האנושי אודות המתמטיקה. עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים קנטור והארדי, והלוגיקן קורט גדל. ז'אק האדאמר, מחשובי המתמטיקאים בצרפת, אמר: "אף שהאמת עדיין אינה ידועה לנו, היא קיימת מלכתחילה, וכופה עלינו את הדרך שעלינו ללכת בה". גישה זו ידועה בשם פלאטוניזם, על שם "ספירת האידאות" של אפלטון.

רבים מתקוממים נגד גישה זו, משום שברור שלא דומה "גילוי" ההוכחה למשפט האחרון של פרמה לגילוי אי באוקיינוס או גילוי צמח שלא היה מוכר קודם לכן. ההוכחה למשפט האחרון של פרמה כרוכה בעבודת יצירה רבה מאוד, ולטעון שהיא הייתה קיימת ורק היה צריך לגלות אותה אינו רחוק מלטעון ששיר חדש אינו יצירה של המשורר אלא גילוי של השיר ב"ים כל המחרוזות המילוליות". בהתאם לגישה זו, המתמטיקה כולה היא יצירה של המוח האנושי, ואינה קיימת בלעדיו. ביטוי נחרץ לגישה זו נתן המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר, באומרו: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם". עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים גם ריכארד דדקינד וקארל ויירשטראס. גם הפילוסוף לודוויג ויטגנשטיין החזיק בדעה שהמתמטיקאי הוא ממציא, ולא מגלה.

מדוע המתמטיקה עובדת? :

משולש על משטח בגאומטריה היפרבולית. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית העקבית במאה ה - 19 הדגיש את חשיבותו של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית.

בפילוסופיה של המתמטיקה יש כמה אסכולות, שמתמקדות בשאלות מטאפיזיות, כלומר: "מדוע המתמטיקה פועלת?", ובשאלה קשורה אך שונה מבחינה לוגית, "מדוע המתמטיקה מסבירה בצורה כל כך טובה את העולם הפיזי כפי שאנו רואים אותו?"

התשובה לשאלה זו אינה מובנת מאליה. בעקבות עבודתו של דוויד הילברט, נהוג היום לראות את המתמטיקה כתורה המטפלת במודלים אקסיומטיים, שבהם האקסיומות נבחרות באופן שרירותי, בלי קשר למציאות, רק בתנאי שיהיו עקביות. גישה זו זכתה לחיזוק בעקבות גילויה / המצאתה של גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים שונה מזו של הגאומטריה האוקלידית. שתי הגאומטריות הללו תקפות מתמטית בדיוק באותה מידה, אולם סביר שרק אחת מהן מתארת את המציאות. ובכל זאת - כאשר נותנים למודל את הפשר המתאים מקבלים לא רק תיאור מצוין של המציאות, אלא גם את היכולת לחזות תופעות באמצעות חקירת המשוואות ודדוקציה מתמטית של משפטים ומסקנות מהאקסיומות. דבר זה בא לידי ביטוי בשימוש בתורת המספרים לייצג את החשבון היומיומי שאנו עושים בהוספת והחסרת דברים, ובהסתמכות של כל תאוריה פיזיקלית כיום על משוואות מתמטיות שמתארות את האינטראקציות והקינמטיקה (תנועה) של הגופים.

היטיב לבטא בעיה זו הפיזיקאי אלברט איינשטיין שתהה "כיצד ייתכן שהמתמטיקה, שאיננה אלא פרי מחשבת האדם, ללא תלות בניסיון ובהסתכלות, מסתגלת כל כך יפה למציאות?" תשובתו הייתה: "במידה שחוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ובמידה שהם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות".

פתרון חלקי לבעיה זו הציג הפילוסוף עמנואל קאנט. על פי קאנט טענות המתמטיקה הם "סינתטי א - פריורי", כלומר: טענות אינפורמטיביות שאינן תלויות בניסיון (ואף קודמות לכל ניסיון). טענות אלה אינן מוסרות מידע לגבי העולם כשלעצמו, אבל הן כן מוסרות מידע על העולם כפי שהוא נתפש בניסיוננו, כלומר - העולם דרך משקפי "התבונה הטהורה". המתמטיקה איננה חוקי העולם אלא חוקי ההיגיון או חוקי התבונה שדרכם תופש המוח האנושי את העולם הסובב אותנו ומארגן את צבר התחושות שהוא קולט לכלל ניסיון או מציאות עקביים.

יסודות המתמטיקה ומקור הוודאות שלה:

שלוש אסכולות אינטואיציוניזם, לוגיציזם ופורמליזם התפתחו בתחילת המאה ה - 20 כתגובה להבנה המחלחלת יותר ויותר, כי המתמטיקה (כפי שהייתה אז), והאנליזה בעיקר, אינה עומדת בקריטריונים של החומרה הלוגית והוודאות, שהייתה אמורה לעמוד בהם. כל אסכולה מתייחסת לנושאים שעלו באותו זמן, כשהיא מנסה לפתור אותם או לטעון שהמתמטיקה אינה זכאית למעמד שלה כתחום המכיל את הידע הוודאי ביותר שנוכל להשיג.

עם דעיכתה של הוודאות המתמטית, שאלת היסודות המקוריים של המתמטיקה ("איזה ענף במתמטיקה הוא זה הבסיסי, שממנו כל שאר הענפים צומחים?") נוסחה מחדש כחקירה פתוחה של יסודות המתמטיקה עם היסמכות על מושגי יסוד מסוימים כגון סדר, וכך עלה התחום מטא - מתמטיקה, שאפשר להגדירו פשוט כ"מתמטיקה שמועילה במחקר מטאפיזי על המתמטיקה".

נתייחס לאסכולות האלה בנפרד:

ריאליזם מתמטי, או פלאטוניזם:

קורט גדל הפלאטוניסט (משמאל) עם חברו הטוב אלברט איינשטיין הפיזיקאי. גדל האמין שהמתמטיקה ממשית לא פחות מהפיזיקה

ריאליזם מתמטי טוען כי ישויות מתמטיות קיימות באופן עצמאי, גם מחוץ למוח האנושי. לפיכך, בני אדם אינם ממציאים את המתמטיקה, אלא מגלים אותה, וכל שאר הישויות האינטליגנטיות ביקום כנראה היו עושות דבר דומה. משתמשים במושג "פלאטוניזם", מכיוון שדעה כזו מקבילה לאמונתו של אפלטון ב"רעיונות שמיימיים", מציאות בלתי משתנה אולטימטיבית, שהעולם היומיומי הוא רק קירוב לא מושלם שלה. דעותיו של אפלטון כנראה מגיעות מפיתגורס וחברי האסכולה שלו, "הפיתגוראים", שהאמינו כי העולם בנוי באופן ממשי ממספרים. לרעיון זה עשויים להיות מקורות קדומים יותר שאינם ידועים לנו.

מתמטיקאים חשובים רבים הם ריאליסטיים; הם רואים את עצמם כמגלים. כדוגמה אפשר לציין את פאול ארדש וקורט גדל. יש שנתנו הסברים פסיכולוגיים להעדפה הזו: כנראה שקשה מאוד לעסוק ולחקור משהו למשך תקופה ארוכה, אם אינך מאמין שהוא קיים. גדל האמין במציאות מתמטית אובייקטיבית, שניתן מבחינה עקרונית לחוש בה, בדומה לחישה רגילה. ישנם עקרונות מסוימים (לדוגמה, עבור כל שני דברים מתמטיים, יש אוסף של דברים שמורכבים בדיוק משני הדברים האלה) שאפשר לראות שהם אמת בצורה ישירה, אך יש השערות מסוימות, כמו "השערת הרצף", שייתכן שלא ניתן להחליט אם הן נכונות או לא. גדל הציע מתודולוגיה אמפירית למחצה שבעזרתה ניתן יהיה למצוא מספיק ראיות כדי להניח השערות כגון אלה.

הבעיה הגדולה ביותר של הריאליזם המתמטי היא זו: היכן ואיך הישויות המתמטיות האלה קיימות? האם יש עולם, נפרד לחלוטין מהעולם הפיזי שלנו, שבו קיימות הישויות המתמטיות? איך אפשר להגיע לעולם הזה ולגלות את האמת על הישויות האלה? ישנה ביקורת רבה על התשובות של אפלטון וגדל לשאלות אלו.

טענה חשובה בעד הריאליזם המתמטי, שנוסחה בידי ו. ו. קוויין והילרי פטנאם, היא "טענת ההכרחיות": המתמטיקה הכרחית עבור כל המדעים האמפיריים, ואם רוצים להאמין בתופעות המתוארות על ידי כל המדעים, יש להאמין גם במציאות של הישויות הנצרכות עבור התיאור הזה. בהתאם לפילוסופיה הכללית של קוויין ופטנאם, טענה זו היא נטורליסטית. היא טוענת לקיומן של הישויות המתמטיות כהסבר הטוב ביותר למה שאנו חווים, וכך הם מרוקנים את המתמטיקה, במידה מסוימת, מהמעמד האפיסטמי שלה.

רוב צורות הלוגיציזם (ראו להלן) הן צורות שונות של ריאליזם מתמטי. אינטואיציזם היא הדוגמה הקלאסית לפילוסופיה אנטי - ריאליסטית של המתמטיקה.

פטנאם התנגד נחרצות למושג "פלאטוניזם", בטענה שמושג זה מרמז על הוויה מסוימת, שאינה נצרכת במקרה המתמטי. הוא תומך בצורה של "ריאליזם טהור" שדוחה מושגים מיסטיים של אמת, ומקבלת הרבה אמפיריציזם - למחצה במתמטיקה. דוגמה של תאוריה ריאליסטית שמתנגדת לפלאטוניזם היא תאוריית השכל המוגשם (ראו להלן).

פורמליזם:

על מצבתו של הילברט חרוטות המילים "אנחנו חייבים לדעת. אנחנו נדע." אידאל זה התנפץ עם משפטי האי שלמות של גדל

הפורמליזם טוען כי אפשר לראות אמירות מתמטיות כאמירות על התוצאות של חוקי מניפולציה של מחרוזות (רצף של סימנים). לדוגמה, ב"משחק" של הגאומטריה האוקלידית (שאפשר להבין אותה כמורכבת ממחרוזות מסוימות הקרויות "אקסיומות" ומכמה חוקים המייצרים מהמחרוזות הראשונות מחרוזות נוספות), אפשר להוכיח כי משפט פיתגורס מתקיים (כלומר, אפשר ליצור את המחרוזת המקבילה למשפט פיתגורס).

לפי כמה מהגרסאות של הפורמליזם, הנושא של המתמטיקה הוא בעצם רק הסימנים הרשומים עצמם. כל משחק שווה למשחק אחר, ואפשר רק לשחק את המשחקים, אך אי אפשר להוכיח דבר לגביהם. עם זאת, עמדה זו אינה פותרת את הבעיות האפיסטמיות (מהם סמלים? האם הם קיימים בעולם לא משתנה ונצחי?), אינה מסבירה את התועלת שבמתמטיקה, ועושה את המתמטיקה לפעילות חסרת ערך לחלוטין. גרסה זו של הפורמליזם אינה מקובלת ביותר.

גרסה שנייה של הפורמליזם ידועה כדדוקטיביזם. בדדוקטיביזם, משפט פיתגורס אינו אמת מוחלטת, אלא אמת יחסית: אם מייחסים משמעות למחרוזות כך שחוקי המשחק נעשים לאמיתיים (כלומר, אקסיומות הן אמירות נכונות, והחוקים שאיתם פועלים גם הם אמיתיים), אז יש לקבל את המשפט, או ליתר דיוק, הפירוש שניתן למשפט זה הוא כנראה אמת. ניתן לומר את אותו הדבר לגבי כל אמירה מתמטית. לפי גישה זו, הפורמליזם אינו טוען שהמתמטיקה היא רק משחק סמלים חסר משמעות. בדרך כלל אכן מקווים שיש פירוש כלשהו שבו חוקי המשחק הם אכן אמיתיים. שיטה זו מאפשרת למתמטיקאי להמשיך בעבודתו, ולהשאיר את הבעיות האלה לפילוסוף או למדען. פורמאליסטים רבים טוענים כי למעשה המערכות האקסיומטיות שאותן יחקרו יהיו אלה שיועילו ביותר למדע או לתחומים מתמטיים אחרים.

אחד מהראשונים שהציעו את הפורמליזם היה דוויד הילברט, שמטרתו (תוכנית הילברט) הייתה להביא לאקסיומטיקה שלמה ועקבית (קונסיסטנטית). הילברט ביקש להראות את העקביות של המערכת המתמטית מההנחה כי ה"אריתמטיקה הפיניטארית" (כלומר, המספרים הטבעיים, שנחשבו כמקובלים על הכל מבחינה פילוסופית) היא עקבית. משפט האי שלמות השני של גדל הביא את תוכנית הילברט אל קִצה, כיוון שהראה כי מערכות אקסיומטיות חזקות אינן יכולות לעולם להוכיח את העקביות של עצמן. בפרט כל מערכת אקסיומטית סבירה שתכלול את המספרים הטבעיים לא תוכל להוכיח את העקביות של עצמה.

הילברט היה במקור דדוקטיביסט, אך כפי שאפשר לראות מההסבר שלנו, הוא חשב כי שיטות מטא - מתמטיות מסוימות מביאות לתוצאות משמעותיות, והוא היה ריאליסט ביחס למספרים הטבעיים. מאוחר יותר היה בדעה כי אין מטא - מתמטיקה משמעותית כלשהי, ולא משנה באיזה פירוש.

פורמליסטים מודרניים, כגון רודולף קרנפ, אלפרד טרסקי והסקל קורי, חושבים כי המתמטיקה היא חקירה של מערכות אקסיומטיות פורמאליות. לוגיקנים מתמטיים חוקרים מערכות פורמאליות אך הם פעמים רבות פלאטוניסטים.

פורמליסטים הם בדרך כלל סובלניים למדי, ומזמינים גישות חדשות ללוגיקה, למערכות מספרים לא סטנדרטיות, גרסאות חדשות של תורת הקבוצות, וכו'. ככל שאנו משחקים יותר משחקים כן ייטב. אך בכל שלוש הדוגמאות האלה, המוטיווציה היא תמיד בשל התעניינות מתמטית או פילוסופית. ה"משחקים" אף פעם אינם נבחרים באופן שרירותי.

הבעיה העיקרית עם הפורמליזם היא שהרעיונות המתמטיים האמיתיים שמעסיקים מתמטיקאים אינם דומים כלל למשחקי המניפולציה הקטנים שתוארו למעלה. אם כי אפשר להגדיר הוכחות על ידי המושגים של המשחקים האלה, ההוכחות כמעט אף פעם אינן נעשות למעשה באופן הזה. הפורמליזם גם לא מסביר איזה מערכת אקסיומות יש לחקור.

לוגיציזם:

הלוגיציזם טוען כי הלוגיקה היא הבסיס של המתמטיקה, וכי כל האמירות המתמטיות הן אמיתות לוגיות מוכרחות. לדוגמה, הטענה "אם סוקרטס הוא אדם, וכל אדם הוא בן תמותה, אז סוקרטס הוא בן תמותה", היא אמת לוגית מוכרחת. ללוגיציסט, כל האמירות המתמטיות הן מאותו סוג; הן תשובות אנליטיות, או טאוטולוגיות.

גוטלוב פרגה היה מייסד הלוגיציזם. בספרו החשוב, "החוקים הבסיסיים של האריתמטיקה", הוא בנה את האריתמטיקה ממערכת לוגית, שכללה את מה שהוא כינה 'החוק הבסיסי החמישי' (שני מושגים F ו - G הם שווי משמעות, אם ורק אם כל אובייקט a המתאים ל - F מתאים גם ל - G), עיקרון שהוא חשב שהוא חלק מקובל של הלוגיקה.

אך בבנייה של פרגה הייתה טעות פטאלית. ברטרנד ראסל גילה כי החוק הבסיסי החמישי אינו עקבי (זהו הפרדוקס של ראסל). פרגה נטש את תוכניתו הלוגית זמן קצר לאחר מכן, אך ראסל ווייטהד המשיכו אותה. הם ייחסו את הפרדוקס ל"מעגליות מרושעת" ובנו תאוריה מסובכת של מדרג על מנת לפתור את בעיית המעגליות. במערכת זו הם הצליחו, בסופו של דבר, לבנות הרבה מהמתמטיקה המודרנית אך באופן שונה ומסובך יותר (לדוגמה, המספרים היו שונים בכל רמה של המדרג, והיו אינסוף רמות במדרג). הם גם היו צריכים להתפשר בכמה נקודות על מנת לבנות כל כך הרבה מהמתמטיקה, כגון ב"אקסיומת הצמצום". אפילו ראסל אמר כי האקסיומה הזו לא באמת שייכת ללוגיקה.

לוגיקנים מודרניים שבו לתוכנית הקרובה יותר לזו של פרגה. הם נטשו את החוק הבסיסי החמישי לטובת עקרונות הפשטה כגון העיקרון של יום (שמספר הדברים שמתאימים ל - F שווה למספר הדברים שמתאימים ל - G, אם ורק אם קיימת התאמה חד - חד ערכית בין הקבוצות המתארות את F ו - G). פרגה היה זקוק לחוק הבסיסי החמישי כדי לתת הגדרה ברורה של המספרים, אך אפשר להפיק את כל המאפיינים של המספרים מהעיקרון של יום. דבר זה לא היה מספיק בשביל פרגה כי (בפרפרזה על דבריו) אין זה מוציא מכלל אפשרות כי יוליוס קיסר=2.

קונסטרוקטיביזם ואינטואיציוניזם:

אינטואיציוניזם היא עמדה שבאה בעקבות טענתו של קאנט, בדבר האפשרות להגיע אל ההכרה הממשית של טבע העולם באמצעות התבונה בלבד, ולפיה כל הידע המתמטי נובע מהחשיבה האנושית. כל עצם מתמטי הוא תוצר של השכל, ולכן קיומו מותנה ביכולת לבנות אותו. בהתאם לכך, יש לקבל לדיון המתמטי רק עצם שקיימת דרך ברורה לבנותו.

ציטוט טיפוסי הוא של לאופולד קרונקר: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל השאר הוא עבודת האדם". כוח משמעותי מאחורי האינטואיציוניזם הוא ל. אי. ג'יי. בראואר, שהציע לוגיקה חדשה, השונה מהלוגיקה האריסטוטלית הקלאסית; ה"לוגיקה האינטואיציונית" אינה כוללת את כלל השלישי מן הנמנע (החוק שאומר שדבר חייב להיות אמת או שקר, ושאין אפשרות אחרת), ולפיכך היא אינה מסכימה עם הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה נדחית אף היא. עבודה חשובה נעשתה לאחר מכן על ידי ארנד הייטינג, שהיה תלמידו של ברואר, שניסח באופן פורמאלי את הלוגיקה האינטואיציוניסטית, ועל ידי ארט בישופ, שהצליח להוכיח כמה מהמשפטים החשובים ביותר באנליזה במסגרת הזו.

באינטואיציוניזם, המושג "בנייה ברורה" לא הוגדר באופן חותך, ודבר זה הביא לביקורת עליה. ניסיונות נעשו להשתמש במושגים כגון מכונת טיורינג או פונקציה רקורסיבית על מנת למלא את החסר, דבר שהוביל לטענה כי רק שאלות שמתייחסות להתנהגות של אלגוריתמים סופיים משמעותיות, וכי רק אותם המתמטיקה צריכה לחקור.

תאוריות השכל המוגשם:

תאוריות אלה טוענות כי החשיבה המתמטית היא פיתוח טבעי של המערכת הקוגניטיבית האנושית לנוכח היקום הפיזי. לדוגמה, המושג המופשט של מספר מגיע מהחוויה של ספירת חפצים נפרדים. כלומר, המתמטיקה אינה אוניברסלית ולא קיימת בצורה אמיתית, חוץ מאשר במוח האנושי. בני אדם בונים, אך אינם מגלים, את המתמטיקה.

לפי זה, היקום הפיזי הוא הבסיס האולטימטיבי של המתמטיקה: הוא שהדריך את האבולוציה של המוח ולאחר מכן קבע איזה שאלות המוח הזה יבקש לחקור. אולם, למוח האנושי אין תביעה מיוחדת על "האמת" או על הגישות אליה שנבנות על המתמטיקה; אם בניות אלה כגון זהות אוילר הן "אמת", אז הן אמת כמפה של החשיבה והמוח האנושי, ולא כמפה של דבר שהמוח הזה "רואה".

היעילות של המתמטיקה בהסבר היקום מוסברת בקלות: המוח הוא שבנה את המתמטיקה כדי שיהיה יעיל ביקום הזה.

כנגד טענה זאת מועלית התנגדות הקשורה באינסוף: המתמטיקה מטפלת בהרבה דברים אינסופיים - הן מבחינת סוגים, הן מבחינת כמות והן מבחינת תהליכים, כיצד המתמטיקה, שכוללת עצם או אידאה כמו האינסוף, יכולה להימצא במוח האנושי, שהוא דבר סופי?

קונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי:

תאוריה זו רואה את המתמטיקה בעיקר כהבניה חברתית, כתוצר של התרבות, שניתן לשינוי ולתיקון. כמו במדעים האחרים, המתמטיקה היא הסכמה בין אנשים, וניתן לשנות אותה אם היא אינה עונה על צורכי הקבוצה. הכיוון של המחקר המתמטי נקבע בידי ההשקפות של הקבוצה החברתית שעוסקת בו, תכונותיה (למשל, האם היא חברה חשדנית או בוטחת באנשים), המבנה החברתי שלה, או על ידי הצרכים של החברה שתומכת בו. כוחות חיצוניים יכולים לשנות את הכיוון של חלק מהמחקר המתמטי, וישנן גם הגבלות פנימיות חזקות (המסורות, השיטות, הבעיות, המשמעויות והערכים המתמטיים שאליהם המתמטיקאים מחונכים). קונסטרוקטיביסטים מרבים לעסוק במושג ההוכחה, במיוחד בפער הרב הקיים בין ההגדרה הפורמלית של הוכחה בלוגיקה מתמטית לבין הוכחות כפי שהן מופיעות הלכה למעשה בכתבי עת וספרים מתמטיים. הם מייחסים את ההבדלים בין קהילות שונות של מתמטיקאים בסטנדרטים של מה שנחשב להוכחה קבילה, שאותם הם מייחסים לנורמות חברתיות שונות.

רעיון זה סותר את האמונות המקובלות ביחס לאופן פעולתם של המתמטיקאים, הטוענות לטוהר ואובייקטיביות המתמטיקה. אך קונסטרוקטיבסטים מתמטיים טוענים כי המתמטיקה למעשה מבוססת על הרבה חוסר ודאות: עם האבולוציה של המתמטיקה, הסטטוס של המתמטיקה הקודמת נעשה פחות ברור, והיא מתוקנת על ידי הקהילה המתמטית, במידה שאפשר או רצוי לשנותה. אפשר לראות את ההיבט הזה בהתפתחות של האנליזה על ידי הבחינה מחדש של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה - 19. הם גם אומרים כי ישנה אמונה רבה מדי בהוכחות אקסיומטיות ובביקורת עמיתים הדדית.

את טבעה החברתי של המתמטיקה אפשר לראות בתתי - התרבות שלה. אפשר לעשות גילויים חשובים בענף אחד של המתמטיקה שיהיו רלוונטיים לענפים אחרים, אך בדרך כלל לא מגלים את הקישורים האלה בגלל חוסר הקשר החברתי בין המתמטיקאים. כל תת - תחום יוצר לעצמו קהילה נפרדת, ולעתים יש קושי רב בתקשורת ביניהן, או במחקר העוסק בקשרים שעשויים לחבר את התחומים השונים של המתמטיקה. קונסטרוקטיביים חברתיים רואים את התהליך של המחקר המתמטי כיוצר את המשמעות, ואילו ריאליסטים חברתיים רואים חסרון ביכולת האנושית לפשט דברים, בהטיות קוגניטיביות אנושיות כמונעים את ההבנה של היקום "האמיתי" של "הדברים המתמטיים". קונסטרוקטיביסטים חברתיים לפעמים דוחים את החיפוש אחר יסודות המתמטיקה ככישלון ודאי, כחסר משמעות או כחסר טעם. יש הטוענים כי המתמטיקה אינה אמיתית או אובייקטיבית כלל, אלא היא מושפעת על ידי גזענות ואתנוצנטריזם. כמה מהרעיונות האלה קשורים לפוסטמודרניזם.

תרומות לאסכולה הזו נעשו על ידי אימרה לקטוש, שבעקבות קרל פופר טען שהידע המתמטי מתפתח בתהליך של השערות והפרכות, ותומאס טימושצקו. פול ארנסט ניסח במפורש פילוסופיה חברתית קונסטרוקטיביסטית, ורובין הרש פיתח תפישה דומה שאותה הוא מכנה הומניזם.

מעבר ל"אסכולות":

במקום להתמקד בוויכוחים הצרים על ה"אמת האמיתית" של המתמטיקה, או אפילו על הדברים המאפיינים את המתמטיקה כמו הוכחה, תנועה גדלה משנות ה - 60 של המאה ה - 20 ועד שנות ה - 90 של המאה ה - 20 החלה לאתגר את שאלת "היסודות", ואת האפשרות למצוא תשובה נכונה לשאלה מדוע המתמטיקה פועלת. ההתחלה של התנועה הייתה במאמר מפורסם של יוג'ין ויגנר מ - 1960, "היעילות הלא - סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע", שבו טען כי העובדה שהמתמטיקה ומדעי הטבע כה מתאימים זה לזה לא יכולה להיות מקרית, אך קשה להסביר אותה.

האסכולות ה"קוגניטיביות" או "החברתיות" הן תשובות לאתגר הזה. אך היו גם ויכוחים נוספים שקמו:

מעין - אמפיריציזם:

עניין מקביל אחד, שאינו ממש מפריע לאסכולות באופן ישיר, אך הוא עדיין מאתגר את ההתמקדות שלהם, הוא הרעיון של המעין - אמפיריציזם במתמטיקה. רעיון זה גדל בסוף המאה ה - 20 מהטענה הפופולרית שלא ניתן להוכיח כי אף אחד מיסודות המתמטיקה אכן קיים. יש שקוראים לזה "פוסטמודרניזם מתמטי". גישה זו היא צורה מינימלית של ריאליזם / קונסטרוקטיביזם חברתי, שמקבל שיטות אמפיריציסטיות - למחצה, ואף אמפיריציסטיות ממש, לתחום המתמטי המודרני.

שיטות כאלה תמיד היו חלק מהמתמטיקה העממית, ועל ידיה נעשו פעולות מרשימות של חישוב ומדידה. למעשה, השיטות האלה הם ה"הוכחה" היחידה שיש לתרבות כזו.

הילרי פטנאם טען כי כל תאוריה של ריאליזם מתמטי תכלול שיטות מעין - אמפיריציסטיות. הוא הציע כי יצורים מעולם אחר שעוסקים במתמטיקה, עשויים בהחלט להעדיף שיטות אמפיריציסטיות, ולזנוח את ההוכחות האקסיומטיות והקשוחות - אם כי יש סיכוי גדול יותר שהם יטעו בחישוביהם.

פעולה ומעשה:

חוקרים רבים שאינם עוסקים בהוכחת משפטים מתמטיים העירו כמה הערות מעניינות ביחס לטבעה של המתמטיקה:

יהודה פרל טען, כי כל המתמטיקה כפי שהיא כיום מבוססת על אלגברה של ראייה - והציע אלגברה של מעשה (סיבתיות) על מנת להשלים אותה - דבר זה הוא התעניינות מרכזית של הפילוסופיה של הפעולה ושל מחקרים אחרים של היחס בין "ידיעה" ל"מעשה". התוצר החשוב ביותר של זה היו תאוריות אמת חדשות, בעיקר אלה שקשורים לאקטיביזם ולביסוס שיטות אמפיריות.

איחוד:

הרעיון של פילוסופיה של המתמטיקה בנפרד מהפילוסופיה הכללית ספג ביקורת כ"מביא מתמטיקאים טובים לפילוסופיה גרועה" - פילוסופים מעטים מסוגלים להבין את השפה והתרבות המתמטית באופן כזה שיוכלו לקשר בין המושגים הרגילים יותר של המטאפיזיקה לרעיונות המטאפיזיים המיוחדים יותר של האסכולות דלקמן. דבר זה יכול להוביל לחוסר קשר, שבו המתמטיקאים ממשיכים לעסוק בפילוסופיה גרועה וחסרת בסיס כהצדקה לאמונה בראיית עולם שמאפשרת להם לעבוד בתחומם.

אם כי תאוריות חברתיות ומעין - אמפיריציזם, ובמיוחד תאוריית המוח המוגשם, התמקדו יותר באפיסטמולוגיה שמונחית על ידי הנוהגים המתמטיים הקיימים, הם אינם מצליחים לקשר בין התחומים האלה לבין החישה והידע היומיומי.

אתיקה:

כמו כן, יש אך מעט התייחסות לאתיקה של המחקר המתמטי. בתרבות טכנולוגית, המתמטיקה נתפסת כצורך מוחלט שערכה ברור מאליו - אף אם לענפים מסוימים אין מטרה ברורה, או שהם מועילים רק על מנת לאפשר מאבקים, כמו קריפטוגרפיה, סטגנוגרפיה, שמועילים לשמירת סודות, או המתמטיקה שקשורה לשיפור הביקוע הגרעיני. בעוד שהרוב מסכימים כי יש לפיזיקאים אחריות על המעשים האלה, מעטים מייחסים אחריות כלשהי למתמטיקאים.

הסוציולוגיה של הידע עסקה בחלק מהביקורת הזו, אך המתמטיקה עצמה הצליחה להתחמק מהמבטים הבוחנים שהם מנת חלקם של מדעים כמו הגנטיקה, הפיזיקה, הכלכלה או הרפואה.

פסיכולוגיה אבולוציונית לדוגמה אימצה את הרעיון ש"המוח הוא מחשב", במשמעות של "מכונת טיורינג". מהן המשמעויות של שימוש בהפשטה שאמורה הייתה להסביר מחשבים, להסבר המוח האנושי?

אסתטיקה:

יופי מתמטי

טענה נוספת היא שאפשר לראות את המתמטיקה באופן צר כמדע המדידה, עם כמות גדולה של קיצורי דרך שנועדו לפשט את החישובים. כמה מהאסכולות ייחסו למתמטיקה יותר חשיבות מאשר המטרה התועלתנית הזו - ולפעמים אף חיפשו הדרכה מוסרית, או אסתטיקה של האמת והיופי, בהפשטות של המתמטיקה. יש שרואים זאת כסימפטום של מדענות. רעיונות אלה מציעים כי המתמטיקה תקפה בתחומים רחבים יותר מאשר פיזיקה בלבד, דוגמת מדעי החברה ומדע הביולוגיה.

שפה:

לבסוף, אף כי מתמטיקאים או פילוסופים רבים יקבלו את האמירה "מתמטיקה כשפה", אין הרבה תשומת לב שמופנית למשמעות של האמירה הזו. לא משתמשים בבלשנות כלפי מערכות הסמלים של המתמטיקה, כלומר, חוקרים את המתמטיקה באופן שונה מאשר שפות אחרות. היכולת לקלוט את המתמטיקה ולפעול בה נתפסת כנפרדת מאוריינות וקליטת שפה.

יש שטוענים

כי דבר זה הוא תוצאה של כישלון לא של הפילוסופיה של המתמטיקה, אלא של הבלשנות ושל מחקר התחביר הטבעי. תחומים אלה, הם אומרים, אינם קשיחים מספיק, והבלשנות צריכה "לסגור את הפער". אך דבר זה נסמך במרומז על הרעיון שהמתמטיקה היא עילאית מכל שאר סוגי הידע. הסטנדרטים של הקשיחות אולי שונים בשפות שונות, אך "יותר" הוא לאו דווקא "טוב יותר".


מה דעתך ומה אתה חושב? תגובות / שאלות / הארות - זה המקום...



תכנים נוספים לעיונך...

קבל את הספרים המומלצים עבורך שיביאו גם לך הצלחה ואושר אמיתיים בכל תחומי החיים!
לזמן מוגבל!   1 ספר 125 ש"ח   2 ספרים 200 ש"ח   4 הספרים 250 ש"ח   050-3331-331
הצלחה אהבה וחיים טובים - הספר על: איך לשפר את הזיכרון? איך להיות מאושר ושמח? איך להצליח בזוגיות? איך לשתול מחשבות? איך לעשות יותר כסף? איך למכור מוצר ללקוחות? איך לשכנע אנשים ולקוחות? איך לגרום למישהו לאהוב אותך? איך לקבל החלטות? איך לטפל בהתנגדויות מכירה? איך להצליח בדיאטה ולשמור על המשקל? איך לפרש חלומות? איך להתמודד עם דיכאון ותחושות רעות? איך לדעת אם מישהו מתאים לך? איך להשיג ביטחון עצמי? איך להאמין בעצמך? איך לשנות תכונות אופי? איך ליצור מוטיבציה ולהשיג מטרות? איך להעריך את עצמך? איך לפתח חשיבה יצירתית? איך לדעת איזה מקצוע מתאים לך? איך להתמודד עם אובססיות והתמכרויות? איך להצליח בראיון עבודה? איך לחשוב בחשיבה חיובית? איך להיגמל מהימורים? איך להעביר ביקורת בונה? איך למצוא זוגיות? איך להתמודד עם גירושין? איך לחנך ילדים? איך לפתח יכולות חשיבה? איך לנהל את הזמן? איך לא להישחק בעבודה? איך ליצור אהבה ועוד...

שקט נפשי אמיתי - הספר על: איך להתמודד עם בדידות? איך להתמודד עם הזיות / דמיונות שווא / פרנויות / סכיזופרניה / הפרעת אישיות גבולית? איך להתמודד עם אכזבות? איך לשכוח אקסים ולא להתגעגע? איך להתמודד עם לחץ? איך להתמודד עם רגשות אשם ושנאה עצמית? איך להתמודד עם שמיעת קולות בראש? איך להתמודד עם חרדות ופחדים של ילדים? איך להתמודד עם ביישנות וחרדה חברתית? איך להתמודד עם הפרעות התנהגות אצל ילדים? איך להתמודד עם אהבה אובססיבית? איך להתמודד עם בעיות ריכוז והפרעת קשב וריכוז? איך להתמודד עם תסמינים של חרדה? איך להתמודד עם ocd / הפרעה טורדנית כפייתית / אובססיות / התנהגות כפייתית? דיכאון? איך להתמודד עם כל סוגי הפחדים והחרדות שיש? איך להתמודד עם הפרעות קשב וריכוז? איך להתמודד עם התקפי חרדה ופאניקה? איך להתמודד עם מאניה דיפרסיה ועם מצבי רוח משתנים? איך להתמודד עם חלומות מפחידים וסיוטים בשינה? איך להתמודד עם פחד קהל ופחד במה / פחד להתחיל עם בחורות / פחד להשתגע / פחד לאבד שליטה / חרדת נטישה / פחד מכישלון / פחד מוות / פחד ממחלות / פחד לקבל החלטה / פחד ממחויבות / פחד מבגידה / פחד מיסטי / פחד ממבחנים / חרדה כללית / פחד לא ידוע / פחד מפיטורים / פחד ממכירות / פחד מהצלחה / פחד לא הגיוני ועוד? איך להתמודד עם עצבות? כעס ועצבים? איך להשיג איזון נפשי? מועקות נפשיות וייאוש? איך להתמודד עם טראומה ופוסט טראומה ועוד...

להיות אלוהים, 2 חלקים - הספר על: למה חוקי הפיזיקה כפי שהם? איך להיות מאושר? מי ברא את אלוהים? איך להשיג שלמות ואושר מוחלט? האם יש אמת מוחלטת? איך נוצר העולם? האם לדומם יש תודעה? למה יש רע וסבל בעולם? האם אפשר לדעת הכל? איך נוצרים רצונות / מחשבות / רגשות? האם באמת הכל לטובה? האם יש משמעות לחיים? האם יש או אין אלוהים? האם יש נשמה וחיים אחרי המוות? האם יש הבדל בין חלום למציאות? איך נוצר העולם? למה יש רע בעולם? אולי אנחנו במטריקס? האם יש בחירה חופשית? למה לא להתאבד? האם המציאות היא טובה או רעה? למה העולם קיים? האם יש חיים מחוץ לכדור הארץ ויקומים מקבילים? בשביל מה לחיות? מה יש מעבר לשכל וללוגיקה? מה המשמעות של החיים? איך להנות בחיים? מהי תכלית ומשמעות החיים? האם הכל אפשרי? איך להיות הכי חכם בעולם? מה יש מעבר לזמן ולמקום ועוד...

לפניך חלק מהנושאים שבאתר... מה מעניין אותך?

זוגיות ומערכות יחסים: זוגיות - ראשי זוגיות - כל הנושאים בגידות - כל הנושאים זוגיות טיפול זוגי בעיות בזוגיות גירושים להתגרש לגרום לבחורה פרידה לשכוח מישהו בגידות אחרי בגידה אקסים - כל הנושאים אקסים והחזרת אהבה - ראשי לגרום למישהו לאהוב אותך להתחיל עם בחורה פחד גישה דייטים למצוא זוגיות התאמה זוגית סקס מיניות חשק מיני משיכה פורנו התמכרות למין גמילה מסקס זהות מינית נטייה מינית הומוסקסואליות טרנסקסואליות טיפולי המרה א מיניות
חרדות ופחדים: חרדות ודיכאון - ראשי חרדות / פחדים - כל הנושאים חרדות פחדים פוביות פרנויה התקף חרדה תרופות נגד חרדה פחד קהל חרדת בחינות פחד מדחייה חרדת מוות פחד למות פחד מנטישה חרדה חברתית חרדה דתית פחד גישה פחד להתחיל עם בחורה פחד מכישלון
ביטחון הערכה ואהבה עצמית: ביטחון והערכה - ראשי אהבה עצמית הערכה עצמית ביטחון עצמי כעס עצמי שנאה עצמית קבלה עצמית אמונה עצמית ביישנות רגשות אשם אמונה עצמית
שכנוע / מכירות: שכנוע - ראשי איך לשכנע מישהו - כל הנושאים שכנוע לשכנע לקוחות מוצר למכור מכירות לקרוא מחשבות מניפולציות התנגדויות מכירה למכור מוצר יקר לשתול מחשבות להשפיע רטוריקה לגרום ללקוח הזדהות אנשי מכירות שכנוע עצמי דיבייטינג סוגסטיות לשכנע בחורות לשכנע ילדים התניה ראפור Nlp
ניהול למנהלים: ניהול למנהלים - כל הנושאים ניהול עובדים ניהול עובדים לשכנע עובדים לפטר עובדים משכורת לקוחות לשכנע לקוחות לסגור עסקה מוצרים לתמחר עסקים הקמת עסק לראיין ולהתראיין קריירה יעוץ פוליטי יעוץ תקשורתי ניהול משא ומתן קבלת החלטות - ראשי החלטות ולהחליט - כל הנושאים איך לקבל החלטה
יום יומי: התמודדות / להתמודד - כל הנושאים רגשות / תחושות - כל הנושאים להרגיש טוב / להרגיש רע - כל הנושאים רגשות הרגלים שינוי התנהגות שינוי הרגלים שינוי חשיבה אובססיות התמכרויות גמילה מחשבות טורדניות עישון - כל הנושאים עישון דיאטה ספורט תזונה בריאות התמכרות למין Ocd טורדנות כפייתיות דחיינות עצלנות שעמום סמים - כל הנושאים סמים ייאוש כעס לחץ מתח נפשי עצבנות דיכאון התאבדות אובדנות בדידות בעיות התמודדות כאבים אובדן התמודדות עם בעיות עצבות שליליות חשיבה שלילית ביקורת החלטות איך להחליט
חינוך ילדים והורות: חינוך ילדים - ראשי הדרכת הורים הורים יחסי הורים וילדים לחנך ילדים לשכנע ילדים להביא ילדים ילדים מתבגרים הפרעות קשב וריכוז של ילדים התנהגות של ילדים ענישה אלימות ילדים חרדות ילדים אוטיזם
אושר חיוביות ואהבה: אושר - ראשי חשיבה חיובית - ראשי אהבה - ראשי אהבה והתאהבות - כל הנושאים שמחה אושר להיות מאושר הנאה חיוביות חשיבה חיובית אהבה לאהוב אהבה עצמית התאהבות לגרום למישהו לאהוב אותך להתאהב להפסיק לאהוב החזרת אהבה
הפרעות נפשיות: הפרעות נפשיות - כל הנושאים הפרעות נפשיות פסיכיאטריה מחלות נפש פסיכוזה סכיזופרניה הפרעת אישיות טראומה פוסט טראומה אוטיזם טיפול תרופתי כדורים אישיות גבולית פיצול אישיות דה פרסונליזציה דיסוציאציה שמיעת קולות קשב וריכוז מאניה דיפרסיה ניתוקים פרנויות הפרעת...
רוחניות ומודעות: רוחניות ומודעות - ראשי רוחניות מודעות עצמית הארה הארה רוחנית מורים רוחניים מורה רוחני תת מודע חומריות גשמיות חיפוש רוחני משמעות החיים - ראשי משמעות החיים מטרת החיים משחק החיים תכלית החיים צמחונות
התפתחות והצלחה: הצלחה - ראשי הצלחה / להצליח - כל הנושאים לפתח את השכל התפתחות אישית מוטיבציה כישלון מטרות הצלחה להצליח התמדה השגת מטרות יצירתיות לפתח שיחה תקשורת בין אישית
כסף ולהתעשר: כסף - ראשי כסף - כל הנושאים כסף אושר וכסף לעשות כסף להתעשר כסף בקלות להרוויח שוק ההון בחירת קריירה
סודות החיים: אלוהים - ראשי בריאת העולם - ראשי בחירה חופשית - ראשי להיות אלוהים - ראשי אלוהים - כל הנושאים בחירה - כל הנושאים אלוהים להיות אלוהים האם יש אלוהים מי ברא את אלוהים בריאת העולם המפץ הגדול פיזיקה החושים מי ברא את העולם יקומים מקבילים בחירה חופשית האם יש בחירה דטרמיניזם הספר להיות אלוהים מה זה להיות אלוהים
מושגים כללי: מילון מושגים מחשבות - כל הנושאים רצונות - כל הנושאים אין הבדל בין יש לאין מהות מהות וצורה מחוייב ואפשרי הנחות יסוד להטיל ספק אחדות ונפרדות אחדות שקרית שלמות אין סוף זמן ומקום הרצון שורש הרצון הכל אחד חסרונות ויתרונות מוחלטות צמצום פרדוקס קבלה מחוייב המציאות אפשרי המציאות עובדה ופירוש סיבה ותוצאה סיבתיות אקראיות ניתוח סיבתיות לוגיקה אמת שקר להיצמד לאמת אמת מוחלטת אובייקטיביות וודאות מציאות אחדות נפרדות טוב ורע יש ואין הפכים פוטנציאל
יהדות ודת: דת ויהדות - ראשי יהדות שמירת מצוות שכר ועונש חזרה בתשובה חזרה בשאלה דתיים אמונה באלוהים אתאיזם אמיתות התורה תורה מול מדע מי כתב את התורה
רבי נחמן וברסלב: רבי נחמן מברסלב ליקוטי מוהרן סיפורי מעשיות ברסלב
שיטות טיפול: טיפול - כל הנושאים טיפול cbt טיפול nlp טיפול ocd טיפול בדמיון מודרך טיפול בהיפנוזה טיפול בהצפה טיפול בחשיפה טיפול דינמי טיפול היפנוטי טיפול הכרתי טיפול התנהגותי טיפול נפשי טיפול עצמי טיפול פסיכדלי טיפול פסיכולוגי טיפול פסיכותרפי טיפול פסיכיאטרי טיפול קוגניטיבי טיפול קצר מועד טיפול רגשי טיפול שכלי טיפול תרופתי Nlp אימון אישי תת מודע גישור הילד הפנימי חשיבה חיובית ביירון קייטי האופונופונו טיפול זוגי פסיכולוגיה פסיכיאטרים היפנוזה מיסטיקה גרפולוגיה אסטרולוגיה תקשור נומרולוגיה סיינטולוגיה


נושאים מומלצים לעיונך...





קבל תכנים נוספים שיעניינו אותך...




האתר Yeda.EIP.co.il נותן לך תכנים בנושא טיפול נפשי, מאמן אישי מומלץ, קואצ'ר, מאמן אישי להרזייה, מאמן לכלכלת המשפחה, אימון עסקי, אימון אישי לבני נוער, אימון אישי למנהלים, מטפל אישי מומלץ ועוד אלפי תכנים נוספים, על כל נושאי החיים - ללא הגבלה! לקביעת פגישה / ייעוץ טלפוני / הזמנת הספרים - חייג: 050-3331-331

© כל הזכויות שמורות לאתר Yeda.EIP.co.il ולכותבי המאמרים המקוריים בלבד!
מומלץ ביותר, לצטט תוכן מהאתר במקומות שונים, ובתנאי שתמיד יצורף קישור לכתובת שבה מופיע התוכן המקורי ולאתר.

האתר נבנה על ידי אליעד כהן
דף זה הופיע ב 0.2031 שניות
עכשיו 23_08_2019 השעה 00:57:08
wesi4