... 3.א הוא ד בעוד שאופן הניתוח של המבנה היסודי של הטענה אצל אריסטו אינה נדחית לגמרי בצורתו הפשוטה של תחשיב הפסוקים המודרני, הרי שהלוגיקה המודרנית, מאז פרגה, מציעה ניתוחים מתוחכמים בהרבה של המבנה הפנימי של הטענה באמצעות תחשיב הפרדיקטים. בעוד ... ויליאם סטנלי גבונס, צארלס פירס, וארנסט שרדר, הניחו במחקריהם את היסודות ללוגיקה המודרנית. עבודתם של בול וממשיכיו עומדת ביסוד תחשיב הפסוקים המודרני, וגישתם האלגברית ללוגיקה עומדת ביסוד מדעי המחשב. בול וממשיכיו הציגו לראשונה מונחי יסוד של תורת הקבוצות במסגרת הדיון ... מ - 1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה. בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב פרדיקטים, המנתח את מבנה הטענה כבעלת שני חלקים בלבד. בעוד שאריסטו סבר כי לטענות יש שלושה חלקים: ... ובוחנים מערכות לוגיות בשפה הסימבולית. מערכת לוגית היא תחשיב (calculus) בו ניתן לבצע הוכחות. שני התחשיבים הלוגיים הבסיסיים הם תחשיב הפסוקים (propositional calculus או sentential calculus) ותחשיב הפרדיקטים (predicate calculus). תחשיב הפסוקים הוא הרחבה פשוטה למדי של הלוגיקה הקלאסית, ואילו תחשיב הפרדיקטים בוחן את המבנה הפנימי של הטענות ומאפשר שימוש בכמתים, ... הסמנטיקה (semantics) שלה, הקובעת את ערכי האמת של המשפטים שניתן ליצור באמצעות השפה של המערכת. אם מדובר בשפה כמו תחשיב הפסוקים, הסמנטיקה מספקת ערך אמת לכל אחד מן הפסוקים היסודיים, והיא מספקת פירוש סמנטי לפעולתם של כל אחד מן הקשרים ... מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. חוק זה נקרא משפט אי השלמות של גדל. תחשיב הפסוקים תחשיב הפסוקים מאפשר לייצג את הקשרים בין ערכי האמת של טענות (פסוקים) שונות. תחשיב הפסוקים אינו מתחשב בטענות אלא שאם יש להן ערכי אמת, דהיינו הוא אינו בוחן את הצורה הפנימית של הטענות, ואת הקשרים שהן מציגות, למשל, בין אובייקטים (בתחשיב הפרדיקטים, הנידון להלן, יש ניתוח של מבנה עומק זה). הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים מורה לנו כיצד עלינו להבין את היחס בין הסמלים המייצגים פסוקים שונים, ובין טענות מן השפה הטבעית. כאשר אנו מעוניינים לנתח טיעון בשפה הטבעית באמצעות תחשיב הפסוקים, הצעד הראשון שעלינו לעשות מכונה הצרנה. בתהליך זה מסמנים כל משפט חיווי בסיסי (למשל השמש תזרח מחר או יוסי ... מספר מסוים). סימן זה משמש לייצג את הטענה בכל מקום שתופיע בטיעון, והוא מכונה פסוק יסודי, או פסוק אטומי. תחשיב הפסוקים אינו עוסק בשאלה כיצד נקבע ערך האמת של פסוקים אטומיים, אלא בשאלה כיצד נקבע ערך האמת של פסוקים מורכבים ... המרכיבים את ההנחות, כאשר הצבה כזו עושה את ההנחות של הטיעון לאמיתיות, היא גם עושה את המסקנה לאמיתית. תחביר לתחשיב הפסוקים תחשיב פסוקים מסוים כולל קבוצה של פסוקים יסודיים או פסוקים אטומיים, ומספר קשרים לוגיים סטנדרטיים. לדוגמה, נגדיר ש P מייצג את ... - A). כללי דה - מורגן מאפשרים להביע דיסיונקציה במונחים של קוניוקנציה ושלילה, וקוניונציה במונחים של דיסיונקציה ושלילה. וכו. תחשיב פסוקים שלם (או קבוצה שלמה של קשרים) הוא קבוצת קשרים שאפשר להציג באמצעותה כפסוק כל פעולה בוליאנית או כל טבלת אמת (ר להלן). ניתן להגדיר שני קשרים לא קלאסיים, שכל אחד מהם מאפשר בעצמו תחשיב פסוקים שלם. קשרים אלו הם הקשרים קו - שפר (לא - וגם, NAND) ולא - או (NOR). למשל, באמצעות התנאי ... \neg b) a \leftrightarrow b מוגדר כ - \ neg((a \to b) \ to \neg (b \to a)) סמנטיקה לתחשיב הפסוקים במסגרת הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים, כל פסוק יסודי יכול לקבל אחד משני ערכי אמת: אמת או שקר, ובלבד שהוא מקבל את אותו ערך בכל ... פירוש עבורו כל הפסוקים בקבוצה מקבלות ערך אמת. טבלאות אמת הן כלי נוח לשם בדיקת תקפותם של טיעונים (היסקים) בתחשיב הפסוקים. הטכניקה של טבלאות אמת מאפשרת לבטא את ערכי האמת של כל פסוק מורכב במונחי ערכי האמת של הפסוקים המרכיבים ... בטבלה, הרי שהטיעון אינו תקף, שהרי זו דוגמה נגדית. אולם אם אין שורה כזו, הראנו שהטיעון תקף. מערכות הוכחה לתחשיב הפסוקים ניתן לבנות לתחשיב הפסוקים מערכות הוכחה, שבהן ניתן להוכיח מקבוצת טענות נתונה טענות נוספות שנובעות ממנה. מערכות היסק אלה בנויות מכללים סינטקטיים (תחביריים) ... ראשון או כשפה מסדר שני. תחביר של תחשיב הפרדיקטים גם בתחשיב הפרדיקטים נעשה שימוש בכל הקשרים הלוגיים הסטנדרטיים המוכרים מתחשיב הפסוקים (או בחלק מהם, ובלבד שתיווצר קבוצה שלמה של קשרים באמצעותה ניתן להביע כל פעולה בוליאנית): \ neg,\ to,\ land,\ ... של פרגה. כוחו של תחשיב הפרדיקטים ניכר ביכולתו להביע את קשרי ההיסק הלוגיים בין טענות שאין אפשרות להביע באמצעות תחשיב הפסוקים. למשל, ניתן להראות באמצעותו כי הטיעון הבא הוא תקף: סוקרטס הוא פילוסוף. יש לפחות פילוסוף אחד. בתחשיב הפרדיקטים הכמתים ... מרובה של מספר משתנים בעת ובעונה אחת. טכניקות אלו מעניקות ללוגיקה כוח להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעות תחשיב הפסוקים או בלוגיקה האריסטוטלית. למשל הוא מאפשר לתת תיאור של מושג המספר, של מושג האינסוף ושל מושג הגבול באנליזה המתימטית ...