* פיזיקה - סוגיות בתורת היחסות לאור פילוסופיית המדע של זאב בכלר - חלק 1.

ב. 1. ההתקצרות המרחבית

בשלושת התמונות הקודמות מופיע מימין סרגל שאורכו l ושני ממדיו האחרים זניחים. במערכת הייחוס של מנוחה (ציור #), עצם חד - ממדי זה הוא מלבן ארוך המשתרע מהעבר לעתיד. מלבן זה הוא "קו - העולם" של הסרגל. כיוון שהסרגל עומד במקומו, קו - העולם שלו אנכי. אם נניח שבכל רגע מוחזר אור משתי הנקודות בשתי קצותיו של הסרגל, a ו - b, נוכל להתייחס אל שתי נקודות אלה כאל שני אירועים בו - זמניים.

נתבונן עתה בסרגל מנקודת ראותה של נועה (ציור #). השינוי הראשון ברור: קו - העולם של הסרגל אינו אנכי מבחינתה אלא מלוכסן, לומר, הסרגל נע לעומתה. השינוי השני עמוק יותר: קצותיו של הסרגל המחזירות אור ברגע נתון במערכת הייחוס של מנוחה, לומר הנקודות a ו - b, אינם עוד אירועים בו - זמניים, נקודה a החזירה אור לפני b.

עכשיו נשוב ו"ננרמל" את התמונה לפי מערכת - הייחוס של נועה, הרואה עצמה כעומדת (ציור #). במילים אחרות: נתקן את מערכת הצירים שלה למערכת שבה צירי המרחב והזמן מאונכים זה לזה ב - 90 מעלות ונראה איזו תמונה מתקבלת. עתה, המלבן הפשוט שייצג את תולדותיו המשעממות של הסרגל העומד במערכת - הייחוס של מנוחה הפך למעין מעוין. צמדי הרגעים הבו - זמניים שייצגו את שני קצותיו הוטו באלכסון, ובנוסף, קו - העולם כולו הוטה באלכסון לכיוון ההפוך. הביטו עתה ב"חתך ההווה" היוצר את אורכו של הסרגל: אכן, הוא התקצר!

ב. 2. התארכות הזמן

בדרך דומה ניתן לראות את האטת הזמן בגוף הנע. תהיינה עתה נועה ומנוחה דיירות שתי גלקסיות המרוחקות זו מזו 10 שנות אור. בחלוף השנים, ע"י החלפת תשדורות ביניהן, הן מסנכרנות את שעוניהן כך שאלה מראים את אותה השעה במערכת - הייחוס המשותפת להן. יום אחד, הראשון לשנת 2000, יוצאת נועה אל מנוחה במהירות של 90% ממהירות האור. נדמיין תחילה את המצב בעיני הפיסיקה הקלסית. שתי הגברות רואות זו את שעונה של זו מחיש את מהלכו. בכך אין כל פלא, כי אותות היוצאים בסדירות ממקור כלשהו מופיעים צפופים יותר אם מקור האור או הצופה נעים זה לקראת זה. במילים אחרות: ההאצה המדומה הזאת היא עניין מתמטי פשוט שאינו קשור לתורת היחסות. אבל עכשיו נשים לב להבדל מכריע בין השתים:

א. מנוחה תבחין בתחילת המסע של נועה רק בסוף 2009, וממנו תסיק כי נועה יצאה לדרכה בתחילת העשור וכי תגיע אליה בתוך שנה. במהלך שנה זו יידחסו במקלטיה של מנוחה כל אותות הזמן של עשר השנים האחרונות בחיי נועה כך שבהגיעה אל מנוחה אמור שעונה להראות את השעה האמיתית.

ב. מנקודת - ראותה של נועה, היא עתה העומדת ומנוחה היא שיצאה לקראתה. (נתעלם לרגע מעניין התאוצה המתרחשת בזמן יציאתה למסע, נושא אליו נשוב בפרק יא). לדידה של נועה, יצאה מנוחה לדרכה עשר שנים מוקדם יותר, בשנת 1990, וכבר אז החל שעונה להאיץ. במכשיריה של נועה, אם כן, יידחסו אותות עשרים השנים האחרונות בחיי מנוחה לתוך עשר השנים האמורות לחלוף עד שמנוחה "תגיע" אל נועה.

האסימטריה כאן ברורה: במהלך ההתקרבות, ייראה למנוחה ששעונה של נועה עובר האצה הרבה יותר נמרצת מההאצה שתיראה לנועה בשעונה של מנוחה. הבה נזכור כי השתים יכולות למדוד את המרחקים ביניהן בכל מיני שיטות אחרות (טריאנגולציה, עוצמת האור וכד') וכך להשוות את האצת האותות עם מידת ההתקרבות האמיתית. די יהיה, אם כן, בהבדל זה בקצב שבו משתנה תדירות אותות השעונים כדי לאפשר לשתיהן לדעת מי מהן נעה "באמת" ומי מתקרבת רק בתנועה מדומה, וזאת אפילו בחלק האינרציאלי במסעה של נועה.

היׂה לא תהיה! מרעים שוב קולו של איינשטיין. לפיכך חייב שעונה של נועה לפגר, כך שהאותות המגיעים אליה ממנוחה ייראו מואצים עוד יותר, אבל מסיבה זו עצמה האותות היוצאים ממנה יהיו מואצים קצת פחות מכפי שהיו צריכים להיות. הסימטריה בין השתים היא עתה מלאה: לא ניתן עתה להבחין בין מנוחה ותנועה. את המחיר ישלם שעונה של נועה: xx שנים ייגרעו מגילה כשתגיע אל מנוחה.

הנה הטיעון בצורה מתמטית. הניתוח לעיל מראה כי בפיסיקה הקלסית, אפקט דופלר - הצורה המובהקת ביותר של דחיסת אותות - צריך לפעול בצורה שונה לגבי המשדר ולגבי הקולט. כך אמנם נהוג היה לחשוב בפיסיקה הקלסית. תהא fs התדירות בה נפלטים האותות (גלי קול או אור) ע"י המקור, v מהירותם המוחלטת של האותות, vs מהירות מקור האותות ו - voמהירות הצופה. אפקט דופלר המקורי אומר כי התדירות שתתגלה לצופה, fo, תהיה:

כאשר סימני החיבור והחיסור מציינים, בהתאמה, התקרבות או התרחקות (זכרו כי חזרנו לרגע לפיסיקה הקלסית, ו"תנועה" ו"מנוחה" הם מושגים מוחלטים). מהמשוואה הכללית לעיל נגזרת משוואה אחת לדחיסת האותות של נועה בעיני מנוחה

ומשוואה אחרת לדחיסת האותות של מנוחה בעיני נועה:

כפילות זו היא התוצא הבלתי - נסבל בעיני תורת היחסות, שתיקנה את נוסחת דופלר לגלי האור כך שלא ייראה כל הבדל בין תנועות המקור והצופה. דחיסת האותות נקבעת עתה רק על פי מהירות שתי המערכות זו ביחס לזו, המסומלת ב - u, בלי כל חשיבות לשאלה מי באמת נע וכמה:

כאשר c היא מהירות האור.

ושוב, כדי ששתי העלמות תצייתנה לאותה משוואה, חייבת דחיסת הזמן של מנוחה בעיני נועה להיות נמרצת יותר, וזו של נועה בעיני מנוחה מתונה יותר, ואפקט זה מושג ע"י הפיגור בשעונה של נועה, הגורם לה גם לראות דברים קורים מהר יותר וגם לפלוט אותות לאט יותר.

וגם כאן, דיאגרמת מינקובסקי ממחישה יפה את ההבדלים בין השתים מבחינת הדרך בה הן רואות את המרחב - זמן. לכל אחת מהן מערכת קואורדינטות שונה (תמונות # ו - #). מהירות האור, כמובן, שווה לגבי שתיהן כי מסלול הקרן יוצרת זווית של 45 מעלות בשתי מערכות הצירים שלהן. אבל מבחינת נועה, רוב האירועים בחיי מנוחה "ירדו" למטה במורד הזמן אל העבר וגם נעשו רחוקים יותר במרחב.

ב. 3. סיכום

כי כן, ראינו את איינשטיין מפעיל שיקולים א - פריוריים (ונוסיף: אסתטיים בעיקרם), במיטב המסורת האפלטונית היקרה לבכלר. אלה מובילים לדרישה מהטבע שיעשה דברים מופרכים בעליל, ואכן, על - פי מאמר החכמים (תענית כ"ג 1), "צדיק גוזר והקדוש ברוך - הוא מקיים": שעונים מאטים בצייתנות את מהלכם

ובצייתנות לא - פחותה מתקצרים הגופים הנעים

ובלבד שלא יהיה צופה אחד ביקום שימדוד מהירות אור השונה מזו שנקבעה לו בחוקי הפיסיקה!

אין לנו אשליות: בכלר כבר מחכה, מצויד בטיעונים מושחזים, להראות איך כל המהלך עוצר - הנשימה הזה הוא עוד מזימה בנוסח דוהם - פואנקרה לרוקן את המדע מכל תוכן אינפורמטיבי ע"י הגדרת המדידות על - פי התיאוריה וכיוצא באלה תרגילים מעגליים. להלן, במקום הגנה פילוסופית על היחסות, ננסה בפשטות לעבוד אתה ע"י יישומה למקרים מיוחדים, ומהם נצטייד בתשובותינו לבכלר.

ג. הערה על חלקו של מינקובסקי בהתפתחות תורת היחסות

בנקודה זו, כיוון שאנו משיגים על בכלר גם בתפקידו כהיסטוריון, איננו יכולים שלא לתמוה על העובדה שלמינקובסקי ולעבודתו, לגאומטריזציה שהנהיג בפיסיקה המודרנית והמדריכה עד היום את הפיסיקה בחיפושיה אחר תורת שדה מאוחד - לכל אלה אין כל זכר ב"מהפכות". תמיהה זו מתחזקת משתי סיבות:

ראשית, הגאומטריה של המרחב - זמן חושפת מתח שהיה קיים בתוך תורת היחסות עצמה, לפחות ברמה האישית. איינשטיין, כששמע לראשונה על הרעיון של מינקובסקי, לא התייחס אליו באהדה ולגלג עליו. רק כשהיה שקוע בפיתוח תורת היחסות הכללית, ומינקובסקי כבר לא היה בחיים, אימץ את המרחב - זמן שלו, אולי מחוסר ברירה, והוסיף לו את התכונה החשובה של היכולת להתעקם בסביבת מאסה. לא במקרה יש הרואים במרחב - זמן את חזרתו של האתר - דעה שגם בכלר יבטא רעיון דומה לה בהמשך.

שנית, ההכרה שהכיר אפלטון בקיומן הנפרד של צורות מציינת בעיני בכלר ("מהפכות", פרקים 1. 1. 8 - 1. 1. 12) את ראשית הפוטנציאליזם. מה הדין, אם כן, במפעלו של מינקובסקי, שהציב את תורת היחסות כולה על הגאומטריה? ניתן לנחש מה תהיה תשובתו של בכלר: זו אינה גאומטריה באמת כי מושגי המרחב והזמן בה נגזרים ממהירות האור, ובכלל, היא אינה אוקלידית, ועוד. אבל בכלר לא מביא תשובות אלה כי השאלה לא נשאלה בספרו מלכתחילה. מאמר זה בא גם להחזיר היבט חשוב זה של היחסות למוקד הדיון.

ד. פרדוקס התאומות

נשוב אם כן לפיסיקה. היחסות הפרטית מחייבת, כאמור, ששעונים בתנועה יאטו את מהלכם. הדבר הוליד כבר עם הופעת התיאוריה את "פרדוקס התאומים" המפורסם, שאותו נמחיש כאן על התאומות מהפרק הקודם. עכשיו גרות שתיהן יחד על הארץ, ונועה, המבוגרת במעט מאחותה, יוצאת לחלל החיצון למסע ארוך במהירות גבוהה. שעוניה, ועמם קצב חייה, אמורים לפגר אחרי אלו של מנוחה על - פי משוואה # לעיל. לכן, בשובה לכדור - הארץ, תגלה כי היא צעירה מאחותה בשנים מעטות או רבות, הכל על פי מהירותה ומשך מסעה.

מאליה מתעוררת השאלה: אם תנועות הן יחסיות, למה תצעיר נועה דווקא ולא מנוחה, השרויה גם היא בתנועה ביחס לאחותה?

ברבות השנים נעשתה התשובה שגורה גם היא: גם אם התנועה היא יחסית במהלך רוב הניסוי, הרי בתחילתו, באמצעו ובסופו, לומר, כשהחלה נועה במסעה, כש"עשתה פרסה" כדי לשוב וכשנעצרה לבסוף, חלו בה תאוצות, ועל תאוצות לא חל עיקרון היחסות.

הסבר זה אינו מספק. כפי ראינו במקרה הפשוט יותר בפרק הקודם, פיתרון הפרדוקס יכול להיעשות גם במסגרת היחסות הפרטית, ע"י חישוב השינויים היחסיים של שעוני נועה ומנוחה זה ביחס לזה, אפילו באותם קטעי - זמן בהם היו מהירויותיהן אינרציאליות. כל עוד נמצאות שתי הצופות במערכות אינרציאליות, מתקיימת הסימטריה ביניהן ואין אפשרות להצביע על אף אחת מהן כנתונה בתנועה או מנוחה באופן מוחלט. רק כשאחת מהן מצטרפת למערכת - הייחוס של השנייה, יהפכו האפקטים החלים עליה מ"אופטיים" לממשיים, והיא לבדה תשא בתוצאות המהירות קרובת - האור באופן המוסכם על כל הצופים. בניתוח הזה, לתאוצה אין חשיבות גדולה כי האפקט נקבע בעיקר ע"י א) מהירות תנועתו האינרציאלית של הצופה ו - ב) משך הזמן בו היה שרוי בתנועה זו. לכן, אם בניסוי אחד נמשך מסעה של נועה שנה אחת ובשני שנתיים, אפילו אם בשני המקרים נסעה באותה מהירות ועברו עליה אותן תאוצות, תהיה האטת שעוניה גדולה יותר במקרה השני.

ניתוחים אחרים - והם כיום הרוב בספרות - הגבילו עצמם כראוי ליחסות הפרטית, אבל הסתמכו על ספירה גרידא של אותות הזמן המגיעים מכל צופה, והקורא נותר נבוך: אם נועה משגרת אל מנוחה הבזק אור כל שעה, וכמוה משגרת מנוחה אותות כאלה אל נועה, למה, בסופו של דבר, לא יתאזנו שינויי התדירות ושתי האחיות יסכימו בפגישתן כי שתיהן שיגרו את אותו מספר אותות?

הניתוח שהצענו כאן מתמקד באסימטריה הבולטת ביותר שיוצרת הפיסיקה הקלסית בין עצם נע ועצם נח, הבדל אשר, אילו היה קיים, היה מאפשר להגדיר תנועה ומנוחה באופן מוחלט: בפיסיקה הקלסית, שיעור האצת אותות האור, כשמקור האור נע והצופה נח, שונה לחלוטין משיעורו כשהצופה הוא הנע והמקור נח. הצורך לסלק תוצאה זו הוא שצריך להיות נקודת - מוצא לניתוח היחסותי. דרך זו לא רק פשוטה ובהירה יותר מבחינה פדגוגית אלא גם מאפשרת תובנה עמוקה יותר של התורה עצמה.

* פיזיקה - סוגיות בתורת היחסות לאור פילוסופיית המדע של זאב בכלר - חלק 3.