... התפתחות המתמטיקה: תגלית או המצאה? 3 מדוע המתמטיקה עובדת? 4 יסודות המתמטיקה ומקור הוודאות שלה 4.1 ריאליזם מתמטי, או פלאטוניזם 4.2 פורמאליזם 4.3 לוגיציזם 4.4 קונסטרוקטיביזם ואינטואיציוניזם 4.5 תאוריות השכל המוגשם 4.6 קונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי 5 מעבר ... שהאמת עדיין אינה ידועה לנו, היא קיימת מלכתחילה, וכופה עלינו את הדרך שעלינו ללכת בה. גישה זו ידועה בשם פלאטוניזם, על שם ספירת האידאות של אפלטון. רבים מתקוממים נגד גישה זו, משום שברור שלא דומה גילוי ההוכחה למשפט האחרון ... מטא - מתמטיקה, שאפשר להגדירו פשוט כמתמטיקה שמועילה במחקר מטאפיזי על המתמטיקה. נתייחס לאסכולות האלה בנפרד: ריאליזם מתמטי, או פלאטוניזם: קורט גדל הפלאטוניסט (משמאל) עם חברו הטוב אלברט איינשטיין הפיזיקאי. גדל האמין שהמתמטיקה ממשית לא פחות מהפיזיקה ריאליזם מתמטי ... אינם ממציאים את המתמטיקה, אלא מגלים אותה, וכל שאר הישויות האינטליגנטיות ביקום כנראה היו עושות דבר דומה. משתמשים במושג פלאטוניזם, מכיוון שדעה כזו מקבילה לאמונתו של אפלטון ברעיונות שמיימיים, מציאות בלתי משתנה אולטימטיבית, שהעולם היומיומי הוא רק קירוב לא ... צורות שונות של ריאליזם מתמטי. אינטואיציזם היא הדוגמה הקלאסית לפילוסופיה אנטי - ריאליסטית של המתמטיקה. פטנאם התנגד נחרצות למושג פלאטוניזם, בטענה שמושג זה מרמז על הוויה מסוימת, שאינה נצרכת במקרה המתמטי. הוא תומך בצורה של ריאליזם טהור שדוחה מושגים מיסטיים של אמת, ומקבלת הרבה אמפיריציזם - למחצה במתמטיקה. דוגמה של תאוריה ריאליסטית שמתנגדת לפלאטוניזם היא תאוריית השכל המוגשם (ראו להלן). פורמליזם: על מצבתו של הילברט חרוטות המילים אנחנו חייבים לדעת. אנחנו נדע. אידאל ...

... מצאו בזמנו תשובה, אבל המשכתי להמתין אבל הפסקתי לחפש. והיו לי תהיות, על דת, חילוניות, אתיאיזם, דאיזם, אגנוסציזם, אקוסמיזם, פלאטוניזם ושאר ירקות. ותמיד חיפשתי להצדיק את הדעות האחרות ולא הקשבתי לקולי הפנימי שקרא לי להקשיב לו. הייתי רגיל להאמין ...