* פילוסופיה - אי שלמות שואפת לאינסוף - חלק 1.

שעשועים כבדי - ראש

ראינו ששיטת ההוכחה שהנהיג אוקלידס במתמטיקה היא תובענית הרבה יותר מההוכחה המדעית באמצעות ניסוי: שום מתמטיקאי לא יעיז להוכיח טענה כלשהי על סמך בדיקת מיליון דוגמאות, כי כבר קרה שרק המקרה המיליארד ומשהו הכזיב! 39 ההוכחה צריכה להיות עקרונית, בלי קשר לניסיון. הנה, לדוגמה, הטענה שכל סכום של מספרים אי - זוגיים עוקבים המתחיל מ - 1 נותן מספר ריבועי, למשל, 1 + 3=22. במקרה זה, ההוכחה העקרונית קלה להמחשה ויזואלית. את כל המספרים האי - זוגיים מה - 1 ומעלה אפשר לצייר כקבוצות ריבועים היוצרים צורות "ר" שצלעותיהן שוות, והן הולכות וגדלות בקובייה אחת בכל זרוע, כמו באיור שלפנינו. נכון שכל צירוף של "ריש"ים המתחיל מהריבוע הבודד משמאל יוצר ריבוע? הנה יכולים אנו לומר "מש"ל" (מה שצריך להוכיח) או, אם נרצה להשוויץ בלטינית, quod erat demonstrandum (QED). זה מחזיר אותנו לנושא היופי. למה חושבים אנשים שהוכחה כזאת היא יפה? כי על סמך צעדים לוגיים בודדים אנחנו יודעים משהו בוודאות על כל צירופי המספרים מהסוג הזה. לא סתם "מועט המחזיק את המרובה" אלא "מועט המחזיק את האינסוף"!

הוכחות כאלה, הנכונות עד לאינסוף, הולידו מגוון שעשועים, שמהם נבעו גם צורות חדשות של יופי וגם הבנות חדשות של המציאות. לאונארדו פִיבּוֹנַצִ'י (1170 - 1250) תהה מה יקרה אם ניצור טור מספרים שבו כל מספר הוא סכום שני המספרים הקודמים. הוא כתב, אם כן, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, וקיבל מקור בלתי - נדלה של תכונות מסקרנות הממשיכות להתגלות עד היום. קחו למשל, כל מספר בסדרה וחברו אותו עם כל קודמיו: תקבלו סכום השווה למספר השני הבא אחריו פחות אחד. לדוגמא, סכום חמשת המספרים הראשונים, 1 + 1 + 2 + 3 + 5, שווה לסכום המספר השביעי, 13, פחות אחד. יש לסדרה אינספור תכונות מסקרנות כאלה, 39 אבל הדיווידנד האמיתי בא כשהתגלה שהיא מתארת שפע אדיר של תהליכים הקיימים בטבע, מסידורי עלים על הגבעול ומבנה הקונכיות ועד צורת הגלקסיות.

שעשוע דומה מציג משולש הקרוי על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פַּסקַל (1623 - 1662) אבל תואר כבר בידי המשורר והאסטרונום הפרסי עומר כַיַאם (1048 - 1122). זהו מבנה העשוי משורות מספרים שכל מספר בהן הוא סכום שני המספרים מימין ומשמאל בשורה מעליו. גם כאן התברר שאין גבול לתכונות המפליאות של המשולש. כך למשל, סכום אברי כל שורה הוא אחת החזקות של שתיים: 20=1, 21=2, 22=4 וכו'. ואם נצבע בשני צבעים את הספרות הזוגיות והאי - זוגיות יתקבל "משולש סירפּינסקי" שבתוכו משולש הפוך וסביבו משולשים ישרים. את המשחק הזה אפשר עוד להמשיך כך שבכל אחד מהמשולשים הפנימיים יהיה עוד משולש הפוך שסביבו עוד משולשים ישרים שבתוך כל אחד מהם עוד... מתקבלת אם כן צורה פרקטלית, כלומר, צורה שגם אם נפרק אותה לחלקים קטנים נגלה שהיא חוזרת ומופיעה בהם עד אינסוף. והנה, גם הפרקטל הוא צורה השולטת בתופעות רבות בטבע. 39

והנה מספר תמים שמקורו בהערה של אוקלידס ושהפך מקור לעיסוק אובססיבי מאז עד ימינו: 24 ניקח קו ישר ונסמן את קצותיו ב א' ו - ב'. עכשיו נסמן נקודה ג' שתחלק אותו לשני חלקים, כך שהיחס בין הקטע הגדול א' - ג' לבין הקטע הקטן ג' - ב' יהיה כמו היחס בין הקו השלם א' - ב' לבין הקטע הגדול א' - ג'. מאז, אנשים מצאו את היחס הזה, "חיתוך הזהב, " בגוף האדם, בפנים יפות, במבנים קדומים, ביצירות אמנות, בצמחים, ביצורים חיים ולבסוף בכל מקום בו רק הסתכלו. כמובן שחלק מה"גילויים" האלה היה רק פרי דמיונם, כפי שהוכיח מריו לִיביוֹ כשמצא את החתך הזה גם ביחסים השונים בין חלקי הטלוויזיה שלו. 26 ובכל זאת, המספר הזה, 1. 61803, המסומן באות היוונית פִי ומוכר יותר בהיגוי האנגלית פַי, חוזר וצץ בטבע במקומות שונים ומשונים כמו סידור זרעי התפוח, פרח הוורד וקונכיית החילזון. "אין צורך להאמין במיסטיקה כדי לחוש יראה כלשהי לנוכח יכולתו זו של חיתוך הזהב להופיע במצבים ובתופעות שאין לכאורה כל קשר ביניהם. "24 (20) רוצים דוגמה? בבקשה: לכו אל סדרת פיבונאצ'י לעיל, קחו אחד ממספריה וחלקו אותו במספר הקודם. זוגות המספרים הראשונים יתנו מנות פשוטות כמו 1 או 1 / 2, אבל ככל שתעלו בסדרת המספרים תראו שבר ההולך ונראה כמו... 1. 618 נכון, זה יהיה מיודענו פַי.

המשותף לכל המשחקים האלה הוא ש - א) ביסודם עומד כלל יחיד ופשוט, ובכל זאת ב) נובעות מהן עוד ועוד תכונות מפתיעות, ו - ג) מתברר שהם מתארים תופעות רבות הקיימות במציאות! נראה שהיקום עצמו נברא בצורה דומה לשעשועים של פיבונצ'י ופסקל: חוקים פשוטים יוצרים סדירויות המולידות מגוון ענק של תופעות יותר ויותר מורכבות.

1. 2 אי - שלמות פורייה

כמו אודיסאוס שהורה למלחיו להשאיר אותו קשור לתורן כל עוד הסירנות שרות, גם אנחנו, לאור המחלוקת בין אפלטון ואריסטו, צריכים להחליט שלא ניתן ליופי להסיט אותנו מהאמת. לצד העיסוק ביופיין של הפיסיקה והמתמטיקה, בואו ניתן דעתנו על שני מומים המתגלים בשתי הגברות האלה אחרי בדיקה יותר פולשנית. שתיהן מתחרות על כתר "מלכת המדעים. " הפיסיקה תובעת אותו בנימוק שהיא עוסקת במרכיבים הבסיסיים ביותר של המציאות כמו חומר, אנרגיה, מרחב וזמן, ולכן כל שאר המדעים, העוסקים בתופעות מורכבות יותר, הם ענפי - משנה שלה. המתמטיקה, מצד שני, טוענת שאינה מוגבלת רק למציאות הידועה לנו. כל מציאות שנוכל להעלות בדמיוננו, כל עוד שולטים בה חוקים קבועים, ויהיו אלה הביזאריים ביותר, תוכל המתמטיקה לתאר אותם, ולכן היא יסודית יותר מהפיסיקה. בואו נראה מה נוכל ללמוד מוויכוח זה.

הפיסיקה היא מדע ניסיוני, כלומר היא לומדת על המציאות ע"י הניסוי והתצפית. שיטות אלה מושתתות על עיקרון הסיבתיות: אם סיבה א' גרמה לתוצאה ב', בתנאים דומים היא תגרום לה תמיד. בפילוסופיה מכונה מסקנה כזאת "אינדוּקְציה, " הסקה מהידוע על הלא - ידוע. והנה העיקרון הכל - כך יסודי הזה נפל קרבן להפרכה פשוטה וקטלנית של הפילוסוף דֵיוִיד יוּם (1711 - 1776). נניח שאני זורק אבן למעלה פעמים רבות ומגלה שהיא חוזרת ונופלת. אני מסיק שכך יקרה תמיד כשאחזור על הניסוי. פשוט, נכון? בא יוּם ואומר: המסקנה הסיבתית הזאת חסרת תוקף אפילו אם זרקת את האבן מיליון פעמים, כי כל טיעון סיבתי מסתמך בעצמו על סיבתיות. הנה, נסה לומר "אני מאמין בסיבתיות כי היא תמיד הוכחה כנכונה" ותחשוב על מה שאמרת: לא הכי אינטליגנטי, נכון?

זִכרו שהאידיאל של הפילוסופים הוא אדם שחי - ואם צריך אפילו מת - על - פי הפילוסופיה שלו, כפי שעשה האבא הגדול שלהם באתונה כששתה את הרעל. יוּם היה איש טוב והגון, אבל אין ספק שהוא לא חי על - פי הפילוסופיה שלו: הוא לבש מעיל כשהיה קר בחוץ, לא התחצף לשוטרים, עקף שלוליות וכדומה, בקיצור: הוא למד מניסיון העבר והשתמש באינדוקציה כמו כל אחד. כי גם אם איננו יכולים להוכיח שיש חוקיות בעולם, אין לנו ברירה אלא לנהוג לפיה! הרבה חכמים ניסו להתגבר על הפרדוקס הזה. הבולט שבהם, עמנואל קַנט (1724 - 1804), הצביע על כך שלא ניתן לחשוב שום מחשבה בלי להסתמך מראש על מושגים כמו חלל, זמן וסיבתיות. מכאן הסיק קַנט שמושגים אלה אינם נובעים מהניסיון אלא הם "אַ - פּרִיוֹריים, " כלומר טבועים בנו מלידתנו. זה ללא ספק תרגיל פילוסופי מבריק (ולא קשה לשמוע גם בו הד לאפלטון), אבל המחיר שהוא תובע מאתנו הוא להאמין שדבר כל כך מהותי כמו הסיבתיות קיים רק "בראש שלנו" ואנחנו מלבישים אותו על מציאות שאיננו יודעים מה היא.

המתמטיקאים אהבו לנפנף בנקודת העיוורון הזאת של המדע הניסיוני עד שאחד משלהם עשה להם תעלול וערער את הבסיס המקביל של המקצוע שלהם. המדע, כפי שראינו, משתמש באינדוקציה, הסקה ממקרה פרטי על הכלל. המתמטיקה, לעומת זאת, משתמשת בדֶדוּקְציה, כלומר הנחת עיקרון ראשוני שממנו נגזרות מסקנות ספציפיות יותר. כמובן, העיקרון הראשוני הזה אינו נובע מהניסיון, כי זה תחומו של המדע. לכן, כל מערכת של הנחות - יסוד היא חוקית בעיני המתמטיקאי כל עוד היא עקבית, כלומר, לא ניתן לגזור ממנה סתירה - דבר והיפוכו. אמרו אנשים: בואו נבנה את כל המתמטיקה כמו שאוקלידס בנה את הגיאומטריה, כלומר נבדוק מה המינימום של הנחות - יסוד שמהן נגזור את כל טענות המתמטיקה (כולל הגיאומטריה, שחזרה עכשיו להיות ענף של המתמטיקה). טובי המוחות של המאות ה - 19 וה - 20 נרתמו למרוץ הזה, וגילו הרבה דברים יפים בדרך. ואז הופיע בחור בן עשרים וחמש בשם קורט גֶדֶל (1906 - 1978) והוכיח שכל מערכת עקבית של הנחות מתמטיות חייבת לכלול טענות שלא ניתן להוכיחן בתוך אותה מערכת. גדל עצמו, שהיה אפלטוניסט, הסיק מהוכחת אי - השלמות שלו מסקנה מרחיקת - לכת מאוד: האמת חורגת מגבולות ההינתנות - להוכחה. 11 המתמטיקה, עם ההיגיון הצרוף והמושלם שלה, תצטרך לחיות עם העובדה שייתכנו בתוך עולמה דברים אמיתיים שלא יהיה בכוחה להוכיחם.

באופן דומה התמודדו מדעי הטבע עם הערעור על האינדוקציה. לעזרתם בא פילוסוף יהודי - אוסטרי, קארל פּוֹפֶּר42 (1902 - 1994), שהצליח לעקוף את יוּם במהלך עוצר - נשימה: נכון, לאינדוקציה אין תוקף לוגי, כי גם אחרי מיליון פעמים ייתכן שאבן שנזרקה למעלה עדיין לא תיפול חזרה, ונכון, כל אישוש הוא זמני. אבל מה לגבי ההפרכה? היא דווקא מוחלטת: אם פעם אחת תישאר האבן באוויר, איני צריך לחזור על הניסוי כדי להפריך את האינדוקציה שעשיתי קודם! מהתובנה הזאת הוציא פופר את התרומה החשובה ביותר שנתנה הפילוסופיה המודרנית למדע: קריטריון התיחום בין מדע למדע - מדומה.

באותם ימים שלטו במדע הפוזיטיביסטים, אנשים חכמים וקפדנים מאוד שטענו שצריך לסלק מהמדע כל זכר למטפיסיקה, כלומר לטענות שלא ניתן להוכיחן בשום ניסיון, כמו טענות האפלטוניסטים. הם עשו עבודה חשובה בסילוק דברים מיותרים, אבל לקחו את תער אוקאם (ר' 3. 1) לקיצוניות שהחניקה את החשיבה המדעית: אפילו אטומים נחשבו בעיניהם משהו כמו מלאכים, שלעולם לא ניתן יהיה להוכיח את קיומם. אמרו הפוזיטיביסטים: תיאוריה היא מדעית רק אם ניתן להוכיח אותה. כלומר, היא צריכה לנבא משהו, ואם הניבוי מתאמת, היא מדעית.

פופר, שהיה אז בחור צעיר מאוד, הזמין את עצמו יום אחד לפגישה של הפוזיטיביסטים (שנקראו "החוג הווינאי") ואמר: בדיוק ההפך! תיאוריה היא מדעית אם ניתן, בעיקרון, להפריכה. זה נשמע קצת מוזר, כי תיאוריה שהופרכה היא לא נכונה. נכון, אמר פופר, היא לא נכונה, אבל היא מדעית. כשתיאוריה מראה לנו שמשהו אינו נכון - במקרה זה: התיאוריה המסכנה עצמה - היא מקדמת את ידיעתנו בצעד חשוב קדימה! (כמובן, אם התיאוריה ניתנת להפרכה, ובמקרה גם לא הופרכה, נשמח יותר). קל עכשיו להבין מהיכן הכוח העצום של תיאוריות פסאודו - מדעיות בעיני מאמיניהן: הן בנויות מראש כך שכל מה שיקרה רק יאשש אותן (חִשבו על ניבויים אסטרולוגיים כמו: "מישהו שלא חשבת עליו הרבה זמן יתקשר אליך, " או "מאחורי הציניות שלך מסתתר צורך גדול שיאהבו אותך"). הן נכונות כיום כפי שהיו לפני אלפי שנים, אבל בדיוק מסיבה זו הן חסרות ערך: הן אינן מסתכנות בשום ניבוי של ממש. האמת המדעית בנויה מאינדוקציות שעל - פי יוּם אין ביטחון שלא יופרכו יום אחד, אבל מהפרכה להפרכה המדע מתקדם.

אגב, כדאי להנחיל את העיקרון של פופר לאנשים בגיל צעיר ולהתרגל ליישם אותו לא רק במדע אלא גם בהשקפות הפוליטיות, בחיים האישיים וכדומה. כל מי שיש לו דעה נחרצת בנושא כלשהו, כדאי לו מדי פעם לעצור ולשאול את עצמו: האם יכול לקרות משהו שיגרום לי להבין שהדעה הזאת שלי מוטעית? ומי שינסה לענות בכנות, יגלה להפתעתו שהתשובה היא לעתים קרובות שלילית! ככה זה, אנחנו נוטים לבנות לעצמנו תיאוריות שרק הולכות ונעשות עם הזמן חסינות בפני העובדות. זו תופעה שכיחה אצל אנשים אינטליגנטים ומלומדים ונוטה, למרבה הצער, להתחזק עם הגיל. חזרה על התרגיל הזה היא דרך טובה לשמור על צעירות רוחנית.

הנה שוב מה שמבדיל פילוסופיה אמיתית מלהטוטי מילים: הערעור של יום על הסיבתיות הניב הבחנה שתרמה הרבה להתפתחות המדע.

* פילוסופיה - אי שלמות שואפת לאינסוף - חלק 3.