... נדון במגבלותיה של הלוגיקה האריסטוטלית. צורתו הלוגית של הטיעון טיעון הוא
קבוצה של משפטים (או
קבוצה של טענות) שחלקם הנחות ואחד מהם הוא המסקנה,
והקבוצה נחשבת טיעון כאשר המעבר בין ההנחות למסקנה הוא תקף, כלומר כאשר המסקנה נובעת בהכרח מן ההנחות. מהי נביעה הכרחית? כאשר ניתן לומר שאין מצב עניינים שבו ההנחות ... להם בהכרח תשובה מוחלטת של "אמת" או "שקר". ניקח לדוגמה את השאלה מתי הופכת
קבוצה של חפצים לערימה. למשל, כמה גרגרי חול דרושים על מנת להפוך לערימה? האם יש מספר מסוים של גרגרים שמעבר לו מדובר בערימה? או ששאלה זו אינה ניתנת למענה חד משמעי, והטענה כי
קבוצה של גרגרי חול היא ערימה אינה כפופה לחוק השלישי הנמנע? הלוגיקה הקלאסית נמנעת מלעסוק בטענות מסוג זה, שכן היא מקבלת את החוקים הללו כהנחות יסוד. במאה העשרים ... השימוש בכמת האוניברסלי אינו מבטיח שהפרדיקט אשר מצוי בטווח שלו אינו מציין
קבוצה ריקה. אריסטו גם אינו מכיר באופיים הייחודי של יחסים, דהיינו של פרדיקטים המקשרים שני אובייקטים. לפיכך, לא ניתן להביע באמצעות הלוגיקה האריסטוטלית את הקשרים ... ידי ציון האקסטנציה של המושגים (ranges of values או Wertverlufe), דהיינו
הקבוצה של האובייקטים שעבורם המושג מעניק ערך אמיתי.
קבוצה זו נתפשת כמושא, והיא יכולה להופיע, למשל, בטענות שוויון מספרי. טענות כגון אלו, המכריזות על שוויון מספרי בין האקסטנציות של מושגים שונים הן מהותיות עבור ... הגלומות בשפה מסוימת או במערכת אקסיומטית מסוימת, ולא תכונות של טענה או של
קבוצה מסוימת של טענות. הלוגיקה המודרנית סיפקה, באמצעים אלו, את היסודות למדעי המחשב ואפשרה את פיתוחם של המחשבים המודרניים. בעקבות פרגה, פרח המחקר הלוגי במאה ... גם עושה את המסקנה לאמיתית. תחביר לתחשיב הפסוקים תחשיב פסוקים מסוים כולל
קבוצה של "פסוקים יסודיים" או "פסוקים אטומיים", ומספר קשרים לוגיים סטנדרטיים. לדוגמה, נגדיר ש P מייצג את הטענה "הגביע הוא שלנו", ו - Q מייצג את הטענה "אנחנו ... וקוניונציה במונחים של דיסיונקציה ושלילה. וכו'. תחשיב פסוקים שלם (או
קבוצה שלמה של קשרים) הוא קבוצת קשרים שאפשר להציג באמצעותה כפסוק כל פעולה בוליאנית או כל טבלת אמת (ר' להלן). ניתן להגדיר שני קשרים לא קלאסיים, שכל אחד מהם ... נקרא סתירה. פסוק הוא קונטינגנטי אם ורק אם אינו סתירה ואינו טאוטולוגיה.
קבוצה של פסוקים נקראת עקבית (קונסיסטנטית) אם קיים פירוש עבורו כל הפסוקים
בקבוצה מקבלות ערך "אמת". טבלאות אמת הן כלי נוח לשם בדיקת תקפותם של טיעונים (היסקים) בתחשיב הפסוקים. הטכניקה של טבלאות אמת מאפשרת לבטא את ערכי האמת של כל פסוק ... שניתנת להוכחה, היא אמיתית) ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה
מקבוצה זו במערכת). תחשיב הפרדיקטים תחשיב פרדיקטים מסדר ראשון הוא מערכת אקסיומטית המאפשרת לטפל בפסוקים שהמבנה הבסיסי שלהן כולל נשואים (פרדיקטים) החלים על ... הלוגיים הסטנדרטיים המוכרים מתחשיב הפסוקים (או בחלק מהם, ובלבד שתיווצר
קבוצה שלמה של קשרים באמצעותה ניתן להביע כל פעולה בוליאנית): \ neg,\ to,\ land,\ vee,\ leftrightarrow. בנוסף מופיעים בתחשיב שני כמתים, \ exists הוא הכמת הישי, ... עבור האובייקטים {דני, רני} הפרדיקט הדו - מקומי "חבר של" מצוין על ידי R
והקבוצה של האובייקטים המשויכת אליו היא
הקבוצה המכילה את הזוג {}. לא כל אובייקט בתחום דורש שיינתן לו שם. אולם צריך להיות ברור מן הסמנטיקה, עבור כל אובייקט וכל פרדיקט בתחום, האם הפרדיקט חל עליו או לא. ...