... לומר שדני (a) הוא חבר של רני (b), תוך ציון יחס החברות באמצעות האות R, נקבל את הנוסחה הבאה: Rab פרגה תרם תרומה הכרחית למתמטיקה וללוגיקה באמצעות המצאת תורת הכימות ... שאינו בר השוואה לזה של הלוגיקה האריסטוטלית. התחשיב הוא מערכת פורמאלית שיש בה נוסחאות בנויות כהלכה (נב"כ) מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק הקובעים אילו נוסחאות ניתן לגזור מאילו, ובכך להוכיח אותן. התחביר של התחשיב מגדיר באופן רקורסיבי ... המוכלות בהן שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות. נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות ... של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, נאותות של מערכת לוגית היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי חוקי התחשיב, אזי נוסחה זו אמיתית. הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר והסמנטיקה של המערכת. התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק. הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח מכוח משמעותם של המונחים המקושרים בה והאופן בו הם מקושרים. ... את האריתמטיקה בתוכן, כמו המערכת שהציע ברטראנד ראסל בפרינקיפיה מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. חוק זה נקרא משפט אי השלמות של ... הכנסה (Introduction) וכלל הוצאה (Elimination). מערכת זו היא נאותה (כלומר, כל נוסחה שניתנת להוכחה, היא אמיתית) ושלמה (כלומר, כל נוסחה אמיתית גם ניתנת להוכחה מקבוצה זו במערכת). תחשיב הפרדיקטים תחשיב פרדיקטים ... פיסוק (סוגריים). לעתים כוללים את יחס הזהות בסימני התחשיב וכך נעשה להלן. את הנוסחאות הבנויות היטב של התחשיב ניתן להגדיר באינדוקציה ע"פ חמשת הכללים התחביריים (סינטקטיים) הבאים: 1.אם P הוא פרדיקט המקבל n ארגומנטים, (P(t1,..., tn היא נוסחה בנויה היטב 2.אם t1 ו - t2 הם שמות או משתנים, אז t1 = t2 היא נוסחה בנויה היטב 3.אם נוסחה בנויה היטב, אזי \ neg היא נוסחה בנויה היטב 4.אם ו - נוסחאות בנויות היטב, אז לכל קשר \ Omega כך ש \ Omega \in \{ \ to,\ land,\ vee,\ leftrightarrow \}, הרי ש ( \ Omega) היא נוסחה בנויה היטב (דהיינו עבור כל שני פסוקים אטומים, הצבתו של אחד מן הקשרים הבינריים ביניהם יוצרת נוסחה בנויה היטב). 5.אם היא נוסחה ו - x הוא משתנה, \ forall x ו - \ exists x הם נוסחאות בנויות היטב תפקידם של הסוגריים למנוע דו - משמעות בקריאה של המשפטים. עם זאת מקובל להשמיט את הסוגריים החיצוניים ביותר. כאשר בנוסחה כל המשתנים הם קשורים, דהיינו כאשר כל משתנה מצוי בטווח של כמת מתאים, הנוסחה נחשבת כפסוק (או טענה). או אז ניתן ליחס לה ערך אמת, בתלות בפירוש שהסמנטיקה ... השלילה. אקסיומת הבחירה של תורת הקבוצות נדחית אף היא. הלוגיקה האינטואיציוניסטית נוסחה באופן פורמאלי על ידי ארנד הייטינג וארט בישופ, וקיבלה את התורה הסמנטית שלה ...

... לכל השאלות, שהכל טוב והכל אחד, אז האדם יכול להגיד "עזוב, עכשיו אני לא רוצה לדעת תשובה לכל שאלה" ככה החיים הרבה יותר מעניינים. ואיך אפשר לדעת את התשובות לכל השאלות? מה הנוסחא המדויקת לקבלת תשובות? התשובה היא די פשוטה, על ידי הבנת ...

... משה רבינו כינה את הכוכבים האלה "פטר שגר בהמה" - בכורות שאין להם דורש אך סימניהם ניכרים בשטח. כך כל תיאוריה, תורה, עיקרון, נוסחה, שיטה, השקפה, הלכה, סברה, הנחה, רעיון, מחשבה, אמונה, הערכה, השערה, תפיסה, או דעה; לכל אחת מאלו ...

... שכשהיה לך טוב, העדפת לחשוב שלא תגיע שעת התשלום, כי אחרת לא היית עושה כלום והיית נעלם... זה לא מספיק שיש לך את הנוסחה הכללית איך לעשות משהו, צריך לדעת איך ליישם אותה על הפרטים הכי קטנים... אל תקבל שום תשובה כמובנת מאליה, תחקור עד שתחשוף את כל השקרים... יש אנשים שאלוהים עובד אצלם, דהיינו הוא ...

... אומר שהוא בעצם מנסה לשכנע אותך לשכנע אותו שאף על פי הטענות שלו, המוצר אכן משתלם לו... אם היו נוסחאות מוחלטות איך להצליח בעולם היחסי, המשחק היה מתבטל, בגלל שהעולם רחוקים מהמהות מתאפשר המשחק... ...

... אבל העקומה שלו תהיה דומה לעקומה בודדה של אבן או של כל חפץ דומם. מאידך, קיים במרחב גם גוף אנושי שבעליו מפעיל את האופציה הזו, והנוסחה להלן תבטא את זאת: גוף אנושי + אופציה פעילה = אדם מהנוסחה הזאת אפשר לעמוד על הרבה מונחים נפוצים ולצקת בהם תוכן; כמו המונח "אדם". אדם ולמעשה הוא לא רק גוף אנושי כי אם גוף אנושי שאופצית ההבחנה הופעלה על ידו, ... נושמים ללא נשמה. "הנשמה" היא לא איבר בתוך הגוף, היא אופציה הנלווית לגוף. גוף אנושי + (נשמה) אופציה פעילה = אדם ולמעשה ניתן בנוסחה הזאת לעמוד על עוד מונח עתיק ולהסיר את האבק מעליו. אני מדבר על המונח "ישות", וישות היא לא קיום ולא הימצאות כי אם מימוש ההימצאות במרחב, כי למעשה גם האבן ... כן; הוא האדם בעל אופצית הבחנה פעילה. גוף אנושי + אופציה פעילה = אדם בעל ישות הייתי רוצה להגדיר עוד שני ממצאים טכנים שעולים מהנוסחה הזאת. אתחיל בגוף האנושי שלמעשה הוא מידע שהתלכד והפך לגוש. גם האבן היא גוש של מידע מלוכד, ולעומתה הגוף האנושי הוא גוש של מידע מלוכד ומורכב יותר. עוד גוש של ... פעילה אינו בעל עקומה משתנה כי אם עקומה בודדת כזו של אבן. גוף אנושי + אופציה פעילה = עקומה משתנה ואפשר ליצוק את כל הבחנותינו בנוסחה אחת: גוש של מידע (גוף אנושי) + אופציה פעילה (נשמה) = אדם (ישות) = עקומה משתנה ומאידך... גוש של מידע (גוף אנושי) + אופציה רדומה = גוש של מידע = עקומה בודדה ... בכל העצמים בעולם, באבן, בבניין, בעץ, בירח... וגם בספר, כי גם הספר נושא מידע שאין בו שום אופציה, ולכן הוא ישקף בהכרח את אותה הנוסחה, כאשר המשבצת של "האופציה" תסומן ב - (0) כלהלן: ספר + (0) = ספר אבן + (0) = אבן מידע + (0) = מידע וכמובן כל מידע והערך שלו ביחס לצופה. במילים אחרות, וכשאני ... כי למידע פן אחד שלא משתנה. וזה מביא אותי לספר של התורה ולמידע שמכיל. על הספר הזה ולמעשה אמורים לחול כל העקרונות שמניתי לעיל שהנוסחאות להלן מבטאות אותם: מידע + (0) = מידע מטוס + (0) = מטוס ספר + (0) = ספר אבן + (0) = אבן תורה + (0) = תורה = עקומה בודדה שלא יכולה להשתנות כי למידע פן אחד ... בו ע"י "עקומה משתנה" כי עקומתו במרחב משתנה ללא הרף. לעומתו, הספר נושא מידע שאין בו שום אופציה, ולכן הוא ישקף בהכרח את אותן הנוסחאות שלעיל כאשר משבצת "האופציה" סומנה בהן ב - (0). בנוסף, ספר התורה אמור להיות מזוהה על ידינו באמצעות עקומה בודדה שלא יכולה להשתנות כי למידע פן אחד ויחיד שלא ...

... חלקיקים מהמידע האינסופי הפזור ביקום והעומד לרשות כל מאן דבעי, פשוט עיבדתי את הנתונים הקיימים האלה במוחי האנושי, והיגעתי אל התשובות והנוסחאות אודות הגוף והנשמה; עובדה היא שאני עתיד לנסח את המידע הזה באופן אנושי ולכתוב אותו באופן אנושי ובשפה אנושית, ... הגוף והנשמה, ואיננו נעוץ בהוכחת מקור המידע הספציפי הזה אודות הגוף והנשמה. העניין הוא, להעביר דרך זרימת המידע הספציפי הזה את הוכחת הנוסחה: לכל המידע הנמצא ביקום מקור אחד ושליט אחד. ביקשתי היינו מהשם יתברך להראות לי את שיטת עבודתו ולגלות לי, דרך שיטת ... כל מה שמבקש השם יתברך לתת לאדם, מסתכם במילה אחת: מידע. המסקנה הזו מסכמת למעשה את החוויה שעברתי עם "גוף ונשמה"... לא במקרה היגעתי איפוא לנוסחה, שהבאתי בפתיח המאמר: תכלית האדם היא, למצוא בזמן העומד לרשותו את המידע האפשרי, ולעבד אותו במידת האפשר. השם יתברך ...

... החל מזרע קטן של רעיון ועד תוכנית פעולה שלמה. לרוב, הוא יגיע בצורת רעיון או כיוון כלשהו שבאמצעותם תוכלו להשיג את מבוקשכם. ואז, תצטרכו להפעיל נוסחה פשוטה: לרשום - לפתח - להכין תוכנית ...

... בחיים - לחיות מבפנים לבחוץ - נתיב של הצלחה בחיים זו אולי לא הדרך היחידה לחיות את החיים, אך זהו בהחלט נתיב משותף או דרך חיים מסוימת של קומץ אנשים שנראה שגילו איזושהי נוסחה סודית עתיקת יומין. הנוסחה לחיים של הצלחה או במילים אחרות: נתיב של הצלחה בחיים. שימו לב, לא אמרתי נתיב אל הצלחה בחיים, אלא נתיב של הצלחה בחיים. הצלחה ...

... לפעמים אדם מבין ומגיע לאיזושהי הבנה ללא מאמץ הבנה שמגיעה אליו בהפתעה בלי שהתאמץ להגיע להבנה זו. לדעת "יודף אלף" יש אינסוף אופציות לגלות נוסחאות חדשות מתמטיות ואת זה אפילו גיליתי דרך מישהו שידע לומר לי בשיחת טלפון מרחק בין כוכב לכוכב. מה? הוא היה ...