... את היכולת לשאת את התדר הזה, לרפא באמצעותו ולעבור את תהליך ההתחברות מחדש. מטפלים שעברו את ההתחברות מחדש מספרים שעוצמת הטיפול שלהם עלתה. כולנו, בעיקר אלו המתעניינים בעולם הרוחני תקופת מה, מכירים את הסיפורים על עולם קדום, מאושר, בלי מלחמות, עולם בו חיינו חיים מחוברים ושלמים, ואז בא רגע ...

... כלשהי על סמך בדיקת מיליון דוגמאות, כי כבר קרה שרק המקרה המיליארד ומשהו הכזיב! 39 ההוכחה צריכה להיות עקרונית, בלי קשר לניסיון. הנה, לדוגמה, הטענה שכל סכום של מספרים אי - זוגיים עוקבים המתחיל מ - 1 נותן מספר ריבועי, למשל, 1 + 3=22. במקרה זה, ההוכחה העקרונית קלה להמחשה ויזואלית. את כל המספרים האי - זוגיים מה - 1 ומעלה אפשר לצייר כקבוצות ריבועים היוצרים צורות "ר" שצלעותיהן שוות, והן הולכות וגדלות ... demonstrandum (QED). זה מחזיר אותנו לנושא היופי. למה חושבים אנשים שהוכחה כזאת היא יפה? כי על סמך צעדים לוגיים בודדים אנחנו יודעים משהו בוודאות על כל צירופי המספרים מהסוג הזה. לא סתם "מועט המחזיק את המרובה" אלא "מועט המחזיק את האינסוף"! הוכחות כאלה, הנכונות עד לאינסוף, הולידו מגוון שעשועים, שמהם נבעו גם צורות חדשות של יופי וגם הבנות חדשות של המציאות. לאונארדו פיבונצ'י (1170 - 1250) תהה מה יקרה אם ניצור טור מספרים שבו כל מספר הוא סכום שני המספרים הקודמים. הוא כתב, אם כן, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, וקיבל מקור בלתי - נדלה של תכונות מסקרנות הממשיכות להתגלות עד היום. קחו למשל, כל מספר בסדרה וחברו אותו עם כל קודמיו: תקבלו סכום השווה למספר השני הבא אחריו פחות אחד. לדוגמא, סכום חמשת המספרים הראשונים, 1 + 1 + 2 + 3 + 5, שווה לסכום המספר השביעי, 13, פחות אחד. יש לסדרה אינספור תכונות מסקרנות כאלה, 39 ... דומה מציג משולש הקרוי על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פסקל (1623 - 1662) אבל תואר כבר בידי המשורר והאסטרונום הפרסי עומר כיאם (1048 - 1122). זהו מבנה העשוי משורות מספרים שכל מספר בהן הוא סכום שני המספרים מימין ומשמאל בשורה מעליו. גם כאן התברר שאין גבול לתכונות המפליאות של המשולש. כך למשל, סכום אברי כל שורה הוא ... הזהב להופיע במצבים ובתופעות שאין לכאורה כל קשר ביניהם. "24 (20) רוצים דוגמה? בבקשה: לכו אל סדרת פיבונאצ'י לעיל, קחו אחד ממספריה וחלקו אותו במספר הקודם. זוגות המספרים הראשונים יתנו מנות פשוטות כמו 1 או 1 / 2, אבל ככל שתעלו בסדרת המספרים תראו שבר ההולך ונראה כמו... 1. 618 נכון, זה יהיה מיודענו פי. המשותף לכל המשחקים האלה הוא ש - א) ביסודם עומד ...

... "למה" בכל פעם שנתקל באחד מאותם גדלים של הטבע שאין להם סיבה ידועה: למה מהירות האור היא דווקא כזאת ולא אחרת? ולמה מטען האלקטרון דווקא כזה ולא כפליים? "ככה" זה לא תשובה, אמר אדינגטון. חייב להיות קשר טמיר בין כל המספרים הללו. והוא חיפש שנים רבות את ...

... המועצה לשלום הילד בדבר אלפי ילדים בישראל החשופים מידי שנה להתעללות? הרי כמעט כל ההורים המתעללים שהובאו לבית המשפט מספרים בלהט את ה"אמת" שלהם, דהיינו, שהילד/ה ...

... שתאפשר למחשב לבצע משימה שאורגניזמים צריכים עבורה נפש. דוגמה לכך היא ביצוע פעולת כפל. מחשב לא נזקק לנפש כדי לכפול מספרים אולם האם זו תדרש לצורך ביצוע משימות אחרות? השאלה אם למחשבים תוכל להיות נפש נתונה במחלקת בשל המחקר המתקדם באינטליגנציה מלאכותית. ג'ון סירל מבחין בין שני סוגים ...

... מתחומים רבים באים להיוועץ בו. אין זו הדרך עם המוניטין של הפרוש גוטמה, כמו עם מספר פרושים וברהמינים אחרים, אשר אודותם מספרים כך או אחרת - תהילתו של הפרוש גוטמה מבוססת על הישגיו בחוכמה ומוסר עילאי. אכן המלך סנייה בימביסארה של מגדהה שם בו את מבטחו יחד עם ...

... הנחות יסוד שגויות כדי לרצות באופן לא אובייקטיבי את עצמם? אולי התכונה הזו עובדת לטובתם במספרים, אבל בעניין של החלטות עליהם ללכת לפי הדברים כפי שהם? הכוונה היא לחפש את האמת שבדבר. אם השכל מכשיל אותם, פשוט ללכת על עובדות מוצקות ולא "להתפלמס" איתן? להסבר ...

... וינחם יצחק אחרי [אבדן] אמו" (בראשית כ"ד, ס"ז). מנקודת מבט מערבית, סדר האירועים נראה מוזר: האם אהבה לא צריכה לבוא לפני הנישואין? ומה הקשר בין התפתחות מערכת היחסים שלהם לבין הקשר של יצחק לאמו? חז"ל מספרים לנו שבחייה של שרה, האוהל שלה - שהוא ביתו של יצחק - זכה לגילוי תמידי של הנוכחות האלוקית (בראשית רבה). עם מותה, נעלמו סימני ...

... של הפיתגוראים הייתה סתם נומרולוגיה: מספרים זוגיים נחשבו "נקביים" ואי - זוגיים "זכריים, " ובהמשך נעשו חלקם "קדושים" ואחרים "טמאים" וכך נפרץ סכר השטויות. כמו כן התברר שגם אוהבי ההרמוניה, כשאומרים ... אצבעות - לא תוכל לבטא את היחס הזה במספרים רגילים כמו 3: 2, בסתם שבר כמו 352 / 361, או אפילו במספר עשרוני מחזורי כמו 30. 33. כל מה שנקבל יהיה המספר העשרוני המעצבן... 1. 414213 הנמשך עד אינסוף ... (יחס = ratio). זה היה הראשון במשפחת מספרים כאלה שהתגלו כבעלי חשיבות עליונה, כמו ה"פי" היווני, המוכר יותר בהיגויו האנגלי פי, שהוא היחס בין היקף מעגל לקוטרו:... 3. 141592. הייתה זו מהלומה לאמונה שהמספרים השלמים הם יסוד העולם. מה שעצוב הוא שלעובדה הלא - יפה הזאת, דהיינו היעדר המידה המשותפת, יש הוכחה מוחצת שהיא עצמה יפה מאוד! 13 ומה שהכי עצוב, מספר ... מושג המספר המשיך להתרחב גם אחרי הכנסת המספרים האירציונליים. אמנם המספרים עצמם הם משהו דמיוני, אבל אנחנו יכולים לפחות להלביש בהם משהו - קלמנטינות, חושחשים וכדומה. בהדרגה הופיעו מספרים יותר ויותר מוזרים. כדאי לציין כי בימי קדם אפילו "אחד" לא נחשב למספר כי "מספר" היה, מעצם הגדרתו, רבים! 32 מכאן ניתן להבין כמה קשה היה לקבל ש"אפס" הוא ... אותו מהודו. אבל אז בא חכם אחד ושאל: אם המספרים הולכים ויורדים באחד עד האפס, מה יקרה אם נמשיך ונחסר אחד מהאפס עצמו? כך נולדו המספרים השליליים, 1 -, 2 - וכו' והיה צורך להרחיב את האריתמטיקה כדי שתוכל לטפל גם בהם. חיש מהר התברר שהמספרים המשונים האלה יכולים לעזור הרבה בבעיות מעשיות, כמו לאפשר לבנק לשמור לנו "מינוס. " כיוון שכך, בא חכם יותר גדול ושאל: מה השורש הריבועי של מספר שלילי כזה? ... ב i (מלשון imaginary) והמציאו עבורו ציר מספרים "מדומים, " ניצב לציר המקובל, ועליו סידרו את כל השורשים הבלתי - אפשריים האלה: i, שהוא השורש הריבועי של 1 -, ואחריו 2i, 3i וכו'. גם הפעם, מתחת לאפס הוסיפו מספרים מדומים שליליים, i -, 2i -, 3i - וכו', כך שהתקבל ציר מספרים שלם המאונך לציר הרגיל. על מערכת - הצירים הדו - ממדית הזאת בנו תחום מתמטי חדש. עכשיו לכו תנסו להבין מהי קלמנטינה מדומה, שהעלאתה בריבוע תיתן קלמנטינה ... לאכול. צחוק צחוק, אבל גם כאן קרה הפלא: המספרים המדומים התגלו כשלב הכרחי בפתרון הרבה בעיות מעשיות. במאה ה - 19 נמצא להם שימוש גם בתיאוריה האלקטרומגנטית ובמאה ה - 20 התגלה שהם חיוניים לחישוב התופעות ... העצמים - רק הלכה והעמיקה מאז, כי תורת המספרים היא רק הקומה הראשונה בבניין המתמטיקה. אם ה"שלוש" המופשט הוא מושג החל על כל העצמים, בואו נחשוב על מושג מופשט יותר, נאמר x, החל על כל המספרים. אם מעולם לא ראינו את ה"שלוש" עצמו, במנותק ממיקרובים או מרופאים, בוודאי שמעולם לא ראינו x. האם גם ההפשטה הזאת תניב משהו מעניין? המילה "אלגברה" מקורה ... של פעולות מתמטיות. האלגברה מחליפה את המספרים ב"נעלמים" (אותיות), ואלה מגלים חוקיות יסודית יותר. זהו צעד נוסף בהפשטה המתמטית: כמו שהשוויון האריתמטי 3 + 3=6 נכון לגבי כל שלישייה ושישייה של עצמים שנציב במקום שני המספרים, כך גם השוויון האלגברי נכון לגבי כל שלושה מספרים שנציב במקום שלושת הנעלמים. הנה חידה אלגברית, פשוטה להפליא ומפתיעה באותה מידה, הממחישה את יכולתה של המתמטיקה להצביע מיד על עובדה שהשכל הישר יצליח לגלות ... בכמה גדל רדיוס המעגל החדש? הציבו את המספרים במשוואת היקף המעגל, וכמה הקלקות על המחשבון שלכם יתנו גודל שכל חתול יעבור מתחתיו בנוחות. רגע, מה קורה פה?! הוספנו רק מטר להיקף כדור - הארץ כולו ושוב תפח ... בכמה דרכים: א) אחרי הצבות של כל מיני מספרים גדולים וקטנים וחישובי התוצאות, ב) אחרי אימוץ החשיבה הויזואלית, ג) אחרי הבנת הקשר האלגברי בין ההיקף לרדיוס. מבט במשוואת היקף המעגל מראה לנו מיד: אין בה ... במתמטיקה? אם המשוואה האריתמטית פועלת על מספרים והמשוואה האלגברית פועלת על אותיות המייצגות מספרים, המשוואה הדיפרנציאלית פועלת על פונקציות, שהן עצמן מעין משוואות. גם כאן, כפי שנראה בפרק 8. 8, רמת ההפשטה החדשה מאפשרת טכנולוגיה מתקדמת עוד יותר. מה לגבי ...

... שלו היא החלק הפנימי והחלק והעטפת הוא החלק חיצוני או בצורה פשוטה את כל הציורים של אני מציריים מנקדת האפס ולא מנקודת האין סוף יש שתי נקודות מרכזיות מאד בציר המספרים נקודת האפס ונקודת האן סוף בלי כל קשר למשמעות הפילוסופית העמוקה של שתי נקודות אלו רק צריך לומר שכמו שיש מספרים שיוצאיים מנקודת האפס יש גם קווים שיוצאים מנקודות האין סוף עצמה כאשר אפשר לחלק בצורה מאד ...