... ניתן לזקק מבנה לוגי באמצעות שפות מלאכותיות המושתתות על אופני ביטוי סימבוליים, ללא תלות בתחביר של השפה הטבעית. כך נולדה הלוגיקה המתמטית, המתמקדת
במושג ההוכחה ובתכונותיהן של מערכות אקסיומטיות שונות. לפיכך בעוד שבראשית הלוגיקה נושא המחקר היה חוקי החשיבה הנכונה, נכון יותר לתאר את העניין של הלוגיקה המודרנית כעיסוק בתכונותיהן ... זה התפתח במיוחד ביוון העתיקה, ובעיקר במסגרת האסכולה האלאטית. פרמנידס ותלמידו זנון התמחו בניסוחם של טיעונים פרדוקסליים, המראים כי ישנן סתירות
במושגים באמצעותם אנו מבינים את המציאות, במיוחד בכל הנוגע
למושגים רצף ואינסוף. את הסתירות הללו ניתן לחשוף באמצעות הצגת הקשרים בין
המושגים השונים שלנו בצורה של טיעון, שעל אף שאנו נטוים לקבל את הנחותיו, מסקנתו בלתי נסבלת (למשל, שאין שינוי בעולם, שאין בו תנועה וכו'). הסיבה לכך שסתירות אלו עולות היא שהבנתנו הראשונית את
המושגים הנוגעים לעולם החושים אינה מתוחכמת מספיק; בעקבות הסתירות, אנו נאלצים לחשוב מחדש על האופן בו עלינו להבין אותם. אפלטון יכול להחשב כממשיך דרכם של האלאטים. אפלטון אמנם לא הציג תורה לוגית סדורה, אולם בדיאלוגים שכתב הוא חקר מספר
מושגים לוגיים יסודיים, למשל את ההבחנה בין טיעונים שבמבנה שלהם קיימת סתירה פנימית, לבין טיעונים שהתוכן שלהם עקבי, כלומר שאין בו סתירות פנימיות. לשם כך ביקש אפלטון להבהיר את
מושג ההגדרה (יוונית: Horismos), שכן ללא הגדרות חדות של
המושגים אודותם נסובים טיעונינו, קשה להבחין מתי אנו סותרים את עצמנו. בדיאלוג האפלטוני הטיפוסי, סוקרטס בוחן נושא מסוים (למשל, מהו אומץ או מהי ידידות) ושואל את שאר המשתתפים בדיאלוג ... הלוגיקה החדשה להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעות הניתוח האריסטוטלי. כך למשל הצליחה הלוגיקה המודרנית לתת לראשונה תיאור מדויק של
מושג הגבול באנליזה המתימטית של פונקציות, שכן לשם הבעת
מושג זה יש צורך בטענה מרובת כמתים מן הצורה "לכל קיים כך ש...". הלוגיקה לאחר אריסטו ועד המאה התשע עשרה במשך כאלפיים שנה נחשבה הלוגיקה האריסטוטלית כמשהו שאין כל צורך לפתחו או ... בלוגיקה, ובאמצעותם ייצגו הסקים אריסטוטלים כמשוואות שהמסקנה היא פתרונן. במקביל, מתמטיקאים ופילוסופים כמו ברנרד בולצאנו ואלקסיוס מיינונג חקרו את
מושג הטענה ואת האופן בו תפיסותינו של האובייקטיביות של הלוגיקה והמתמטיקה מחייבות אותנו לקיומן האידאלי של טענות. התפתחויות אלו עומדות בבסיס עבודתו של גוטלוב פרגה, שאף שעיקר הישגיו ... לא הוכרה כמעט בזמנו, ורעיונותיו קיבלו תהודה בעיקר דרך אלה שהשפיע עליהם, כגון ג'וזפה פאנו, ברטראנד ראסל ולודוויג ויטגנשטיין. חידושיו של פרגה "כתב
מושגים", ספרו הראשון והמהפכני של פרגה מ - 1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה. בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב פרדיקטים, ... מעניקות ללוגיקה החדשה כוח להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעים האריסטוטלים. למשל הצליחה הלוגיקה המודרנית לתת לראשונה תיאור פורמאלי של
מושג האינסוף, שהוביל מאז ימי האסכולה האלאטית לפרדוקסים, ושל
מושג הגבול באנליזה המתימטית של פונקציות, שכן לשם הבעת
מושגים אלו יש צורך בטענה מרובת כמתים מן הצורה "לכל קיים כך ש...". דוגמה פשוטה יחסית לאופן בא נעשה שימוש כזה בכמתים היא ההצרנה של הטענה "לכל אחד יש חבר", כאשר נציין את היחס בין ... (הרלוונטי גם בפילוסופיה של הלשון) - לפיו מילה מקבלת את משמעותה רק בקונטקסט של השיפוט שהיא משמשת כחלק ממנו. העקרון השלישי מציג את ההבחנה בין
מושג לבין מושא. על פי פרגה,
מושגים הם פונקציות, המקבלות את משמעותם רק כאשר ניתן להן אובייקט כערך שלהן. כשלעצמו,
המושג הוא בלתי רווי (unsaturated), ורק כשהוא מתחבר לשם או לשם של משתנה, הוא מקבל משמעות. כך פותר פרגה את בעיית אחדות הטענה שהטרידה אחר כך את ראסל, ומציע, באופן מובלע, תורת טיפוסים פרימיטיבית:
מושגים (מסדר ראשון) חלים על אובייקטים בלבד, משום שרק באמצעותם הם נהיים רוויים במשמעות. אולם מכאן עולות גם כמה מסקנות פרדוקסליות. מכיוון שרק בצירוף לשם או למשתנה יש
למושג משמעות,
המושג אינו יכול להופיע כנושא במשפט. מכאן יוצא, כי אין אפשרות לומר
"המושג סוס הוא מושג", משום שכאן
המושג סוס מופיע כאובייקט, ולא
כמושג. פרגה נאלץ לפיכך לטעון:
"המושג סוס אינו מושג", ומכאן נובע (אם כי פרגה אינו אומר זאת מפורשות):
"המושג מושג אינו מושג". הטענה הפרדוקסלית חושפת כיצד שלושת העקרונות של פרגה קשורים זה לזה. לאור עקרון הקונטקסט, פרגה אינו מוכן לקבל שלפרדיקט יש משמעות במנותק מן המסגרת הטענתית בה הוא מופיע, ובה הוא רווי בזכות קישורו לאובייקט. לאור התנגדותו לפסיכולוגיזם, פרגה שולל את ההתייחסות אל
המושג כאובייקט וסבור שהתייחסות כזו נובעת מתפיסת
המושג כתוכן מנטלי אינרטי, ולא כפונקציה. עם זאת יש לפרגה דרכים לטפל
במושגים במסגרת לוגיקה מסדר שני. דרך אחת היא על ידי ציון האקסטנציה של
המושגים (ranges of values או Wertverlufe), דהיינו הקבוצה של האובייקטים שעבורם ה