... זאת אחר כך גם ממטופלים. הם אמרו לי שהם לא מאמינים בחשיבה חיובית. ובכלל, איך הם יכולים להגיד לעצמם דברים טובים אם יש להם הוכחות חותכות שהמצב הוא בדיוק ההיפך? הגעתי למסקנה שצריך לעשות משהו אחר. שזה לא נכון לעשות שטיפת מוח, כי היא לא באמת פותרת את ...

... הם פשוט מתארים למטפל מסלולי ערוצי אנרגיה אותם הוא לפחות נאלץ ללמוד שנים... בשנים האחרונות הפך השיאצו לאחד הטיפולים האלטרנטיבים הפופולרים ביותר, יעילותו הוכחה מעבר לכל ספק במיוחד בבעיות גב וכאבי ראש מתח ועייפות. מחקרים רבים קבעו שהטיפול בשיאצו מונע שימוש רב במשככי כאבים ועל ירידה בהיעדרויות ממקום העבודה. ...

... איך? תשאלי האם הוא בכלל קיים? זה המפתח, מי אמר שיש אלוהים? תוכיחי שיש אלוהים, עד שלא תצליחי להביא הוכחה שיש אלוהים, אין טעם להתקדם ולשאול, מה אלוהים רוצה ומה הוא לא רוצה? אולי אין אלוהים, את חייבת להגיע לוודאות. שאלה: אני ...

... וכל האחרים. למי שייכים הסיפורים המשפחתיים. האם מרחיק עדות או רומז שכל זה לא היה. אבל יש הוכחות למציאות. היה. היא לומדת לא להתייחס ל"בוי" העומד מולה באוכל. כל צד צריך להתבצר בתוך הזהות שלו, מסבירה דודתה. ...

... פיסיקאי, ניוטון, שהמציא מושג מוזר, הנגזרת, שהיא "גודל גדול מאפס אבל קטן מכל מספר שהוא, " כדי לעשות חישובים מסוג חדש. הנימוק שנתן כדי להוכיח שנגזרות כאלה הן ממשיות היה צולע, אבל מהרגע שהציג את שיטתו, והתברר שהחישובים שהיא מציעה נותנות תוצאות מדויקות (ראו פרק 8. 8), התעלמו ... מה היינו עושים בלעדיכם! הנון - שלאנטיות הזאת, על - פי בכלר, 9 היא חלק בלתי - נפרד מהמתודה המדעית: המדען מוכן להניח הנחות ללא הוכחה מספקת ולהתקדם אתן, במקום שבו היה הלוגיקן הקפדן נשאר תקוע. בכלר מתמצת את הגישה הזאת בסיסמה של גלילאו: "באר את הפלא ע"י הנס. " כמו האפס, גם האינסוף משך את הדמיון המתמטי. גיאורג קנטור (1845 - 1918) המציא חשבון מיוחד לאינסופים והוכיח בדרך פשוטה יחסית שמספר הנקודות על קו מסוים שווה למספר הנקודות על קו גדול יותר ואפילו למספר הנקודות על מישור או מרחב כלשהו2 ("אני רואה את זה, " כתב על ההוכחה, "אבל לא מאמין! "). במילים אחרות, כשמשווים בין סוגים שונים של אינסוף מתקבלות תוצאות המנוגדות לשכל הישר. משלא הצליחו המתמטיקאים להפריך את הוכחותיו של קנטור, ניסו לדחותן בטענה שאינסופים אינם דבר מציאותי. קנטור, שהיה אפלטוניסט, טען שהם דווקא קיימים איפה שהוא ואפילו גייס את אלוהים לצורך זה. לטענה זו הצטרף מאוחר יותר עוד אפלטוניסט מפורסם, גדל, אותו כבר שמענו מדבר בזכות אמיתות החורגות מיכולת ההוכחה. 11 מייקל גוילן, 60 בעבר מרצה לפיסיקה בהרוורד, תומך בהקשר זה בטענה הקרויה "עיקרון השפע: " כל דבר שהמתמטיקה מרשה את קיומו, יתגלה ...

... ממך לעשות מעשה טכני שהוא כן בשליטה שלך - לפנות לאותו אדם ולאמר לו מה אתה מרגיש כלפיו ומאיזו סיבה, ולהוכיח אותו על מה שעשה לך. (ראה רמב"ן במקום). משני המקורות ...

... השפעה ממשית על המחקר המתמטי, ולפיכך הפילוסופיה של המתמטיקה יכולה להיות משמעותית ביותר עבור מתמטיקאים בפועל, במיוחד בתחומים חדשים שבהם עדיין אין בדיקה טובה של ההוכחות המתמטיות על ידי חוקרים רבים, ולכן ייתכן כי ימצאו טעויות. ניתן למצוא טעויות כאלה רק אם יודעים היכן לחפש אותן, ואיפה הגיוני שיעלו. נושא זה הוא אחד מהתפקידים ... אפיסטמולוגיה ואתיקה. עניינים אלה נדונים בסוף הערך. התפתחות המתמטיקה: תגלית או המצאה? : השאלה האם התפתחות המתמטיקה, כפי שהיא מתבטאת בהעלאת השערה חדשה או במציאת הוכחה חדשה, היא בגדר תגלית או בגדר המצאה, העסיקה את המתמטיקאים בסוף המאה ה - 19 ותחילת המאה ה - 20, אם כי שורשיה מגיעים עד לאריסטו ואפלטון. מצד אחד מתקיימת הגישה לפיה כל העצמים המתמטיים (משפטים, הוכחות וכדומה), אלה הידועים לנו וגם אלה שאינם ידועים לנו, קיימים ב"חלל וירטואלי" כלשהו, וכל שנותר הוא לגלות אותם. בהתאם לגישה זו, ניסוח משפט חדש הוא בגדר תגלית, וכך גם ביחס להוכחתו. בהתאם לכך, התפתחותה של המתמטיקה אינה אלא התפתחות הידע האנושי אודות המתמטיקה. עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים קנטור והארדי, והלוגיקן קורט גדל. ... וכופה עלינו את הדרך שעלינו ללכת בה". גישה זו ידועה בשם פלאטוניזם, על שם "ספירת האידאות" של אפלטון. רבים מתקוממים נגד גישה זו, משום שברור שלא דומה "גילוי" ההוכחה למשפט האחרון של פרמה לגילוי אי באוקיינוס או גילוי צמח שלא היה מוכר קודם לכן. ההוכחה למשפט האחרון של פרמה כרוכה בעבודת יצירה רבה מאוד, ולטעון שהיא הייתה קיימת ורק היה צריך לגלות אותה אינו רחוק מלטעון ששיר חדש אינו יצירה של המשורר אלא גילוי של ... ב"משחק" של הגאומטריה האוקלידית (שאפשר להבין אותה כמורכבת ממחרוזות מסוימות הקרויות "אקסיומות" ומכמה חוקים המייצרים מהמחרוזות הראשונות מחרוזות נוספות), אפשר להוכיח כי משפט פיתגורס מתקיים (כלומר, אפשר ליצור את המחרוזת המקבילה למשפט פיתגורס). לפי כמה מהגרסאות של הפורמליזם, הנושא של המתמטיקה הוא בעצם רק הסימנים הרשומים עצמם. כל משחק שווה למשחק אחר, ואפשר רק לשחק את המשחקים, אך אי אפשר להוכיח דבר לגביהם. עם זאת, עמדה זו אינה פותרת את הבעיות האפיסטמיות (מהם סמלים? האם הם קיימים בעולם לא משתנה ונצחי?), אינה מסבירה את התועלת שבמתמטיקה, ועושה את ... כמקובלים על הכל מבחינה פילוסופית) היא עקבית. משפט האי שלמות השני של גדל הביא את תוכנית הילברט אל קצה, כיוון שהראה כי מערכות אקסיומטיות חזקות אינן יכולות לעולם להוכיח את העקביות של עצמן. בפרט כל מערכת אקסיומטית סבירה שתכלול את המספרים הטבעיים לא תוכל להוכיח את העקביות של עצמה. הילברט היה במקור דדוקטיביסט, אך כפי שאפשר לראות מההסבר שלנו, הוא חשב כי שיטות מטא - מתמטיות מסוימות מביאות לתוצאות משמעותיות, והוא היה ... שרירותי. הבעיה העיקרית עם הפורמליזם היא שהרעיונות המתמטיים האמיתיים שמעסיקים מתמטיקאים אינם דומים כלל למשחקי המניפולציה הקטנים שתוארו למעלה. אם כי אפשר להגדיר הוכחות על ידי המושגים של המשחקים האלה, ההוכחות כמעט אף פעם אינן נעשות למעשה באופן הזה. הפורמליזם גם לא מסביר איזה מערכת אקסיומות יש לחקור. לוגיציזם: הלוגיציזם טוען כי הלוגיקה היא הבסיס של המתמטיקה, וכי כל ... הקלאסית; ה"לוגיקה האינטואיציונית" אינה כוללת את כלל השלישי מן הנמנע (החוק שאומר שדבר חייב להיות אמת או שקר, ושאין אפשרות אחרת), ולפיכך היא אינה מסכימה עם הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה נדחית אף היא. עבודה חשובה נעשתה לאחר מכן על ידי ארנד הייטינג, שהיה תלמידו של ברואר, שניסח באופן פורמאלי את הלוגיקה האינטואיציוניסטית, ועל ידי ארט בישופ, שהצליח להוכיח כמה מהמשפטים החשובים ביותר באנליזה במסגרת הזו. באינטואיציוניזם, המושג "בנייה ברורה" לא הוגדר באופן חותך, ודבר זה הביא לביקורת עליה. ניסיונות נעשו להשתמש ... המתמטי, וישנן גם הגבלות פנימיות חזקות (המסורות, השיטות, הבעיות, המשמעויות והערכים המתמטיים שאליהם המתמטיקאים מחונכים). קונסטרוקטיביסטים מרבים לעסוק במושג ההוכחה, במיוחד בפער הרב הקיים בין ההגדרה הפורמלית של הוכחה בלוגיקה מתמטית לבין הוכחות כפי שהן מופיעות הלכה למעשה בכתבי עת וספרים מתמטיים. הם מייחסים את ההבדלים בין קהילות שונות של מתמטיקאים בסטנדרטים של מה שנחשב להוכחה קבילה, שאותם הם מייחסים לנורמות חברתיות שונות. רעיון זה סותר את האמונות המקובלות ביחס לאופן פעולתם של המתמטיקאים, הטוענות לטוהר ואובייקטיביות המתמטיקה. אך ... שאפשר או רצוי לשנותה. אפשר לראות את ההיבט הזה בהתפתחות של האנליזה על ידי הבחינה מחדש של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה - 19. הם גם אומרים כי ישנה אמונה רבה מדי בהוכחות אקסיומטיות ובביקורת עמיתים הדדית. את טבעה החברתי של המתמטיקה אפשר לראות בתתי - התרבות שלה. אפשר לעשות גילויים חשובים בענף אחד של המתמטיקה שיהיו רלוונטיים ... תפישה דומה שאותה הוא מכנה הומניזם. מעבר ל"אסכולות": במקום להתמקד בוויכוחים הצרים על ה"אמת האמיתית" של המתמטיקה, או אפילו על הדברים המאפיינים את המתמטיקה כמו הוכחה, תנועה גדלה משנות ה - 60 של המאה ה - 20 ועד שנות ה - 90 של המאה ה - 20 החלה לאתגר את שאלת "היסודות", ואת האפשרות למצוא תשובה נכונה לשאלה מדוע המתמטיקה פועלת. ... לאסכולות באופן ישיר, אך הוא עדיין מאתגר את ההתמקדות שלהם, הוא הרעיון של המעין - אמפיריציזם במתמטיקה. רעיון זה גדל בסוף המאה ה - 20 מהטענה הפופולרית שלא ניתן להוכיח כי אף אחד מיסודות המתמטיקה אכן קיים. יש שקוראים לזה "פוסטמודרניזם מתמטי". גישה זו היא צורה מינימלית של ריאליזם / קונסטרוקטיביזם חברתי, שמקבל שיטות ... ואף אמפיריציסטיות ממש, לתחום המתמטי המודרני. שיטות כאלה תמיד היו חלק מהמתמטיקה העממית, ועל ידיה נעשו פעולות מרשימות של חישוב ומדידה. למעשה, השיטות האלה הם ה"הוכחה" היחידה שיש לתרבות כזו. הילרי פטנאם טען כי כל תאוריה של ריאליזם מתמטי תכלול שיטות מעין - אמפיריציסטיות. הוא הציע כי יצורים מעולם אחר שעוסקים במתמטיקה, עשויים בהחלט להעדיף שיטות אמפיריציסטיות, ולזנוח את ההוכחות האקסיומטיות והקשוחות - אם כי יש סיכוי גדול יותר שהם יטעו בחישוביהם. פעולה ומעשה: חוקרים רבים שאינם עוסקים בהוכחת משפטים מתמטיים העירו כמה הערות מעניינות ביחס לטבעה של המתמטיקה: יהודה פרל טען, כי כל המתמטיקה כפי שהיא כיום מבוססת על אלגברה של ראייה - והציע אלגברה של מעשה ...

... בכל אדם יש את הצד הזה שרוצה לדעת מהי האמת. הנוקם והנוטר אוחז בחרב המתהפכת והמשל הוא לזה שהאדם לוקח כל טענה או הנחה ומנסה להוכיח בדיוק את הפך הטענה, מהפכה מצד לצד ...

... entity realism) הוא ההשקפה שחלקיקים בלתי נראים, כגון אלקטרונים ופוטונים, המאכלסים תאוריות מדעיות, אכן קיימים וההוכחה לכך היא שמדענים מצליחים לשלוט בתופעות שהם מזהים עם חלקיקים אלה ולבצע עליהן מניפולציות באופן שיטתי. ריאליזם חלקיקים מזוהה בעיקר עם הפילוסופים איאן ... כוללנית (אינדוקציה) הרי שאפשר לשלול טענה או קביעה על ידי הפרכה אחת. כך, למשל, מספיק למצוא ברבור שחור אחד כדי להוכיח שהאמירה "כל הברבורים לבנים" אינה נכונה. על כן, תאוריות אינן נבחנות בהוכחה, אלא בכך שהן אינן מופרכות. לפיכך, על מנת שטענה תיחשב כמדעית, היא צריכה להיות מנוסחת באופן הניתן להפרכה, כלומר שיהיה אפשרי להוכיח שהיא אינה נכונה. עקביות: אינדוקציה ויכולת הפרכה, הם הבסיס למבנה כולו, שאם לא כן, נכנסים לרגרסיה אינסופית. זאת בעיקר מכיוון שהקביעות שלנו תמיד מגיעות ...

... עשן וממציא דמיונות ורעיונות והופך אותן לאמונות כדי למצוא את הבטחון הנכסף ביצירה של עצמו. הניסיון ההיסטורי מראה על כישלון מוחלט בגישה הזו. פסיכוזות ופחדים הצטברו עם כל ידע נוסף "שנאגר" מקלט הידע הוכיח את עצמו כלא יעיל וכי למרות הידע ...