... - אי שלמות שואפת לאינסוף - חלק 2 פילוסופיה - אי שלמות שואפת לאינסוף - חלק 1. שעשועים כבדי - ראש ראינו ששיטת
ההוכחה שהנהיג אוקלידס במתמטיקה היא תובענית הרבה יותר
מההוכחה המדעית באמצעות ניסוי: שום מתמטיקאי לא יעיז
להוכיח טענה כלשהי על סמך בדיקת מיליון דוגמאות, כי כבר קרה שרק המקרה המיליארד ומשהו הכזיב! 39
ההוכחה צריכה להיות עקרונית, בלי קשר לניסיון. הנה, לדוגמה, הטענה שכל סכום של מספרים אי - זוגיים עוקבים המתחיל מ - 1 נותן מספר ריבועי, למשל, 1 + 3=22. במקרה זה,
ההוכחה העקרונית קלה להמחשה ויזואלית. את כל המספרים האי - זוגיים מה - 1 ... בקובייה אחת בכל זרוע, כמו באיור שלפנינו. נכון שכל צירוף של "ריש"ים המתחיל מהריבוע הבודד משמאל יוצר ריבוע? הנה יכולים אנו לומר "מש"ל" (מה שצריך
להוכיח) או, אם נרצה להשוויץ בלטינית, quod erat demonstrandum (QED). זה מחזיר אותנו לנושא היופי. למה חושבים אנשים
שהוכחה כזאת היא יפה? כי על סמך צעדים לוגיים בודדים אנחנו יודעים משהו בוודאות על כל צירופי המספרים מהסוג הזה. לא סתם "מועט המחזיק את המרובה" אלא "מועט המחזיק את האינסוף"!
הוכחות כאלה, הנכונות עד לאינסוף, הולידו מגוון שעשועים, שמהם נבעו גם ... בפנים יפות, במבנים קדומים, ביצירות אמנות, בצמחים, ביצורים חיים ולבסוף בכל מקום בו רק הסתכלו. כמובן שחלק מה"גילויים" האלה היה רק פרי דמיונם, כפי
שהוכיח מריו ליביו כשמצא את החתך הזה גם ביחסים השונים בין חלקי ... הזאת חסרת תוקף אפילו אם זרקת את האבן מיליון פעמים, כי כל טיעון סיבתי מסתמך בעצמו על סיבתיות. הנה, נסה לומר "אני מאמין בסיבתיות כי היא תמיד
הוכחה כנכונה" ותחשוב על מה שאמרת: לא הכי אינטליגנטי, נכון? זכרו ... לבש מעיל כשהיה קר בחוץ, לא התחצף לשוטרים, עקף שלוליות וכדומה, בקיצור: הוא למד מניסיון העבר והשתמש באינדוקציה כמו כל אחד. כי גם אם איננו יכולים
להוכיח שיש חוקיות בעולם, אין לנו ברירה אלא לנהוג לפיה! הרבה חכמים ניסו ... טובי המוחות של המאות ה - 19 וה - 20 נרתמו למרוץ הזה, וגילו הרבה דברים יפים בדרך. ואז הופיע בחור בן עשרים וחמש בשם קורט גדל (1906 - 1978)
והוכיח שכל מערכת עקבית של הנחות מתמטיות חייבת לכלול טענות שלא ניתן
להוכיחן בתוך אותה מערכת. גדל עצמו, שהיה אפלטוניסט, הסיק
מהוכחת אי - השלמות שלו מסקנה מרחיקת - לכת מאוד: האמת חורגת מגבולות ההינתנות -
להוכחה. 11 המתמטיקה, עם ההיגיון הצרוף והמושלם שלה, תצטרך לחיות עם העובדה שייתכנו בתוך עולמה דברים אמיתיים שלא יהיה בכוחה
להוכיחם. באופן דומה התמודדו מדעי הטבע עם הערעור על האינדוקציה. לעזרתם ... מדע למדע - מדומה. באותם ימים שלטו במדע הפוזיטיביסטים, אנשים חכמים וקפדנים מאוד שטענו שצריך לסלק מהמדע כל זכר למטפיסיקה, כלומר לטענות שלא ניתן
להוכיחן בשום ניסיון, כמו טענות האפלטוניסטים. הם עשו עבודה חשובה בסילוק ... מיותרים, אבל לקחו את תער אוקאם (ר' 3. 1) לקיצוניות שהחניקה את החשיבה המדעית: אפילו אטומים נחשבו בעיניהם משהו כמו מלאכים, שלעולם לא ניתן יהיה
להוכיח את קיומם. אמרו הפוזיטיביסטים: תיאוריה היא מדעית רק אם ניתן
להוכיח אותה. כלומר, היא צריכה לנבא משהו, ואם הניבוי מתאמת, היא מדעית. ...